等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式S=(A1+An)N/2 ，等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，可以用AP表示，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)d。前n項(xiàng)和公式為：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。注意： 以上整數(shù)。

擴(kuò)展資料

日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)。若為等差數(shù)列，且有an=m，am=n，則am+n=0。其于數(shù)學(xué)的中的應(yīng)用，

可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個(gè)，算法不止一種，這里介紹用數(shù)列算令等差數(shù)列首項(xiàng)a1=24（24為6的4倍），等差d=6；于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。

等比：

1.當(dāng)公比q=1時(shí),Sn=na1

2.當(dāng)q不等于1時(shí),Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

等差：

1.Sn=n(a1+an)/2

2. Sn=na1+n(n-1)d/2

等比數(shù)列公式就是在數(shù)學(xué)上求一定數(shù)量的等比數(shù)列的和的公式。另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。

拓展資料;

等比的故事：

根據(jù)歷史傳說記載，國(guó)際象棋起源于古印度，至今見諸于文獻(xiàn)最早的記錄是在薩珊王朝時(shí)期用波斯文寫的．據(jù)說，有位印度教宰相見國(guó)王自負(fù)虛浮，決定給他一個(gè)教訓(xùn)。

他向國(guó)王推薦了一種在當(dāng)時(shí)尚無人知曉的游戲．國(guó)王當(dāng)時(shí)整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情．

國(guó)王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宰相，作為對(duì)他忠心的獎(jiǎng)賞，他需要得到什么賞賜。

宰相開口說道：請(qǐng)您在棋盤上的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)格子上放4粒，第四個(gè)格子上放8粒……即每一個(gè)次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的倍數(shù)，直到最后一個(gè)格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了。 “好吧！”國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宗師的這個(gè)謙卑的請(qǐng)求．

這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫出數(shù)字來就是18，446，744，073，709，551，615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和！

如果造一個(gè)寬四米，高四米的糧倉來儲(chǔ)存這些糧食，那么這個(gè)糧倉就要長(zhǎng)三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個(gè)來回。

國(guó)王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達(dá)依爾的一筆永遠(yuǎn)也無法還清的債。

正當(dāng)國(guó)王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事，他笑著對(duì)國(guó)王說：“陛下，這個(gè)問題很簡(jiǎn)單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會(huì)被它難倒？”國(guó)王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。

其實(shí)，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18，446，744，073，709，551，615粒麥子所需要的時(shí)間，大約是5800億年（大家可以自己用計(jì)算器算一下?。?。

就算宰相大人日夜不停地?cái)?shù)，數(shù)到他自己魂歸極樂，也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜?！眹?guó)王恍然大悟，當(dāng)下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。?

西薩·班·達(dá)依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當(dāng)然，最后宰相還是獲得了很多賞賜（沒有麥子）。

因?yàn)镾n = a1 + a2 + ... + an，反過來Sn = an + a(n-1) + ... + a1。

兩式相加，有：2Sn = （a1 + an） + [a2 + a(n-1)] + ... + [ak + a(n-k+1)] + ... + (an + a1)。

由等差數(shù)列知道對(duì)于任意的K，有[ak + a(n-k+1)] = (an + a1)。

（說明：可以把a(bǔ)n = a1+（n-1）d)代入上式證明）

所以2Sn = n(a1 + an），故Sn = n(a1 + an)/2。

這是等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程。

擴(kuò)展資料

等差數(shù)列的公式：

公差d＝（an－a1）÷（n－1）（其中n大于或等于2，n屬于正整數(shù)）；

項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)來）÷公差＋1；

末項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)－1）×公差；

前n項(xiàng)的和Sn＝首項(xiàng)×n＋項(xiàng)數(shù)（項(xiàng)數(shù)－1）公差／2；

第n項(xiàng)的值an＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)－1）×公差；

等差數(shù)源列中知項(xiàng)公式2an＋1＝an＋an＋2其中｛an｝是等差數(shù)列。

可以到mathlab計(jì)算器上驗(yàn)碧巧證，這個(gè)表達(dá)式算出來的結(jié)果是對(duì)的，不洞殲過美中不足的就是計(jì)算最終表達(dá)式，這個(gè)原函數(shù)因?yàn)槭軅€(gè)人知識(shí)有限，沒能推出來，有請(qǐng)各路大神在本貼下評(píng)論出原函數(shù)的表達(dá)式。

n分之一的前n項(xiàng)和是發(fā)散的悔顫鍵，即n趨緊無窮大時(shí)，S(n)的值也趨近無窮大。

證明如下

證：不等式 x>ln(1+x)? (x>0)? Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)

因?yàn)閘im[n→∞]ln(1+n)=+∞，所以lim[n→∞]Sn=+∞,故發(fā)散

所有調(diào)和級(jí)數(shù)都是發(fā)散的。調(diào)和級(jí)數(shù)即1/An的前n項(xiàng)和，其中An是不全為零的等差數(shù)列。

可以到mathlab計(jì)算器上驗(yàn)碧巧證，這個(gè)表達(dá)式算出來的結(jié)果是對(duì)的，不洞殲過美中不足的就是計(jì)算最終表達(dá)式，這個(gè)原函數(shù)因?yàn)槭軅€(gè)人知識(shí)有限，沒能推出來，有請(qǐng)各路大神在本貼下評(píng)論出原函數(shù)的表達(dá)式。

n分之一的前n項(xiàng)和是發(fā)散的悔顫鍵，即n趨緊無窮大時(shí)，S(n)的值也趨近無窮大。

證明如下

證：不等式 x>ln(1+x)? (x>0)? Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)

因?yàn)閘im[n→∞]ln(1+n)=+∞，所以lim[n→∞]Sn=+∞,故發(fā)散

所有調(diào)和級(jí)數(shù)都是發(fā)散的。調(diào)和級(jí)數(shù)即1/An的前n項(xiàng)和，其中An是不全為零的等差數(shù)列。

最基本的公式是通項(xiàng)公式

通項(xiàng)公式是：

然后是求和公式

求和公式還分兩種情況，一是公比不等于1，二是公比等于1