n-1項等比數列求和公式

等差數列前N項和公式S=(A1+An)N/2 ，等差數列是常見數列的一種，可以用AP表示，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差數列{an}的通項公式為：an=a1+(n-1)d。前n項和公式為：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。注意： 以上整數。

擴展資料

日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有an=m，am=n，則am+n=0。其于數學的中的應用，

可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數有多少個，算法不止一種，這里介紹用數列算令等差數列首項a1=24（24為6的4倍），等差d=6；于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。

等比：

1.當公比q=1時,Sn=na1

2.當q不等于1時,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

等差：

1.Sn=n(a1+an)/2

2. Sn=na1+n(n-1)d/2

等比數列公式就是在數學上求一定數量的等比數列的和的公式。另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。

拓展資料;

等比的故事：

根據歷史傳說記載，國際象棋起源于古印度，至今見諸于文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的．據說，有位印度教宰相見國王自負虛浮，決定給他一個教訓。

他向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的游戲．國王當時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情．

國王對這種新奇的游戲很快就產生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宰相，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什么賞賜。

宰相開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8?！疵恳粋€次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數目的倍數，直到最后一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了。 “好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應了宗師的這個謙卑的請求．

這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫出數字來就是18，446，744，073，709，551，615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內所產的小麥的總和！

如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。

國王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。

正當國王一籌莫展之際，王太子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說：“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會被它難倒？”國王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。

其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數一粒，數完18，446，744，073，709，551，615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下?。?/p>

就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜?！眹趸腥淮笪?，當下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。?

西薩·班·達依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當然，最后宰相還是獲得了很多賞賜（沒有麥子）。

因為Sn = a1 + a2 + ... + an，反過來Sn = an + a(n-1) + ... + a1。

兩式相加，有：2Sn = （a1 + an） + [a2 + a(n-1)] + ... + [ak + a(n-k+1)] + ... + (an + a1)。

由等差數列知道對于任意的K，有[ak + a(n-k+1)] = (an + a1)。

（說明：可以把an = a1+（n-1）d)代入上式證明）

所以2Sn = n(a1 + an），故Sn = n(a1 + an)/2。

這是等差數列求和公式的推導過程。

擴展資料

等差數列的公式：

公差d＝（an－a1）÷（n－1）（其中n大于或等于2，n屬于正整數）；

項數＝（末項－首項來）÷公差＋1；

末項＝首項＋（項數－1）×公差；

前n項的和Sn＝首項×n＋項數（項數－1）公差／2；

第n項的值an＝首項＋（項數－1）×公差；

等差數源列中知項公式2an＋1＝an＋an＋2其中｛an｝是等差數列。

可以到mathlab計算器上驗碧巧證，這個表達式算出來的結果是對的，不洞殲過美中不足的就是計算最終表達式，這個原函數因為受個人知識有限，沒能推出來，有請各路大神在本貼下評論出原函數的表達式。

n分之一的前n項和是發(fā)散的悔顫鍵，即n趨緊無窮大時，S(n)的值也趨近無窮大。

證明如下

證：不等式 x>ln(1+x)? (x>0)? Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)

因為lim[n→∞]ln(1+n)=+∞，所以lim[n→∞]Sn=+∞,故發(fā)散

所有調和級數都是發(fā)散的。調和級數即1/An的前n項和，其中An是不全為零的等差數列。

可以到mathlab計算器上驗碧巧證，這個表達式算出來的結果是對的，不洞殲過美中不足的就是計算最終表達式，這個原函數因為受個人知識有限，沒能推出來，有請各路大神在本貼下評論出原函數的表達式。

n分之一的前n項和是發(fā)散的悔顫鍵，即n趨緊無窮大時，S(n)的值也趨近無窮大。

證明如下

證：不等式 x>ln(1+x)? (x>0)? Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)

因為lim[n→∞]ln(1+n)=+∞，所以lim[n→∞]Sn=+∞,故發(fā)散

所有調和級數都是發(fā)散的。調和級數即1/An的前n項和，其中An是不全為零的等差數列。

最基本的公式是通項公式

通項公式是：

然后是求和公式

求和公式還分兩種情況，一是公比不等于1，二是公比等于1