基本不等式柯西不等式
柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講,該不等式應(yīng)稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。
1、二維形式:
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等號(hào)成立條件:ad=bc
2、三角形式:
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
等號(hào)成立條件:ad=bc
3、向量形式:
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)
等號(hào)成立條件:β為零向量,或α=λβ(λ∈R)。
4、一般形式:
(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2
等號(hào)成立條件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均為零。
然后可以推到(a1方+a2方+...+an方)(b1方+b2方+...+bn方)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)方
∵ (1+x2)/(1+x2)+(1+y2)/(1+y2)+(1+z2)/(1+z2)=3
∴下式-上式,得
1/(1+x2)+1/(1+y2)+1/(1+z2)=1 (b)
這里用a,b開始使用柯西不等式
a*b
=[x2/(1+x2)+y2/(1+y2)+z2/(1+z2)]*[1/(1+x2)+1/(1+y2)+1/(1+z2)]≥[x/(1+x2)+y/(1+y2) +z/(1+z2)]2
即x/(1+x2)+y/(1+y2) +z/(1+z2) ≤√(2×1)=√2
x/(1+x2)+y/(1+y2) +z/(1+z2) 的最大值=√2
很高興為您解答,祝你學(xué)習(xí)進(jìn)步!
有不明白的可以追問(wèn)!如果您認(rèn)可我的回答,請(qǐng)選為滿意答案,并點(diǎn)擊好評(píng),謝謝!
柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講,該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】,因?yàn)椋呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之,才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要,是高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一。
例1:設(shè) ,求證: .
例2:設(shè) ,求證:
例3:設(shè) ,求證:
例4: ,求 的最小值________
例5: ,求 的最大值_________
1. 的最小值為_________
2. , 最小值為_________
3. 最小值為__________
4.已知 且 ,則 的最小值為___________
5.已知 則 的最小值為_______
6. 最大值為_________
7. , 的最大值為______
8. 若 ,且 ,則 的最大值是________
9. 若 ,且 ,則 的最大值是________
10. 若實(shí)數(shù) 滿足 則 的最大值是________
11.若 的最小值為_________
12.設(shè) 恒成立,則n的最大值是_________
13. (06陜西)已知不等式 對(duì)任意正實(shí)數(shù) 恒成立,則正實(shí)數(shù) 的最小值為 ( )
(A)8 ?。˙)6 (C)4 ?。―)2
14.(08浙江5) ,且 ,則 ( )
(A) (B) (C) (D)
15.設(shè)a、b為正數(shù),且a+ b≤4,則下列各式中正確的一個(gè)是 ( )
A. B. C. D.
16.設(shè)實(shí)數(shù) 滿足 , ,求 的最大值
高中階段只需要掌握二維形式的柯西不等式與柯西不等式向量形式
二維形式的柯西不等式公式:(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等號(hào)成立條件:ad=bc (a/b=c/d)
柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)
等號(hào)成立條件:β為零向量,或α=λβ(λ∈R)。
樓主是否會(huì)聯(lián)想到其他形式呢?由類比推理思想可得:((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
二維形式的證明
(a+b)(c+d) (a,b,c,d∈R)
=a·c +b·d+a·d+b·c
=a·c +2abcd+b·d+a·d-2abcd+b·c
=(ac+bd)+(ad-bc)
≥(ac+bd),等號(hào)在且僅在ad-bc=0即ad=bc時(shí)成立。
【親,希望對(duì)你有幫助~~】
柯西不等式一般式為:
等號(hào)成立條件為:
一般形式推廣形式為:
此推廣形式又稱卡爾松不等式,其表述是:在m×n矩陣中,各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。
柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。
其二維形式為:
等號(hào)成立條件:
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