高中數(shù)學(xué)柯西不等式

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。

1、二維形式：

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^2

等號(hào)成立條件：ad=bc

2、三角形式：

√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]

等號(hào)成立條件：ad=bc

3、向量形式：

｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）

等號(hào)成立條件：β為零向量，或α＝λβ（λ∈R）。

4、一般形式：

（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2

等號(hào)成立條件：a1:b1=a2:b2=…＝an:bn，或ai、bi均為零。

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因?yàn)?，正是后兩位?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要，是高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一。

柯西不等式一般式為：

等號(hào)成立條件為：

一般形式推廣形式為：

此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述是：在m×n矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。

其二維形式為：

等號(hào)成立條件：