柯西不等式一般式

一般形式
　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
　　等號(hào)成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。
證明：
　　當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時(shí)，一般形式顯然成立
　　令A(yù)=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A＞0
　　構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展開得：
　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0
　　故f(x)的判別式△＝4B^2－4AC≤0，
　　移項(xiàng)得AC≥B^2，欲證不等式已得證。