柯西不等式

柯西不等式是由大數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。

1、二維形式：

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^2

等號成立條件：ad=bc

2、三角形式：

√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]

等號成立條件：ad=bc

3、向量形式：

｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）

等號成立條件：β為零向量，或α＝λβ（λ∈R）。

4、一般形式：

（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2

等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…＝an:bn，或ai、bi均為零。

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x2/(1+x2)+y2/(1+y2)+z2/(1+z2)=2 （a）
∵ (1+x2)/(1+x2)+(1+y2)/(1+y2)+(1+z2)/(1+z2)=3
∴下式-上式，得
1/(1+x2)+1/(1+y2)+1/(1+z2)=1 （b）
這里用a，b開始使用柯西不等式
a*b
=[x2/(1+x2)+y2/(1+y2)+z2/(1+z2)]*[1/(1+x2)+1/(1+y2)+1/(1+z2)]≥[x/(1+x2)+y/(1+y2) +z/(1+z2)]2
即x/(1+x2)+y/(1+y2) +z/(1+z2) ≤√（2×1）=√2

x/(1+x2)+y/(1+y2) +z/(1+z2) 的最大值=√2

很高興為您解答，祝你學習進步！
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柯西不等式是由大數(shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因為，正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中數(shù)學提升中非常重要，是高中數(shù)學研究內容之一。

（一）求最值

例1：設 ，求證： ．

例2：設 ，求證：

例3：設 ，求證：

例4： ，求 的最小值________

例5： ，求 的最大值_________

1. 的最小值為_________

2. ， 最小值為_________

3. 最小值為__________

4.已知 且 ，則 的最小值為___________

5.已知 則 的最小值為_______

6. 最大值為_________

7. ， 的最大值為______

8. 若 ，且 ，則 的最大值是________

9. 若 ，且 ，則 的最大值是________

10. 若實數(shù) 滿足 則 的最大值是________

11.若 的最小值為_________

12.設 恒成立，則n的最大值是_________

13. （06陜西）已知不等式 對任意正實數(shù) 恒成立，則正實數(shù) 的最小值為 （ ）

（A）8　　　　（B）6　　　?。–）4　　　?。―）2

14.（08浙江5） ,且 ，則 ( )

（A） （B） （C） （D）

15．設a、b為正數(shù)，且a+ b≤4，則下列各式中正確的一個是 （ ）

A． B． C． D．

16.設實數(shù) 滿足 ， ，求 的最大值

最簡單的柯西不等式就是（a方+b方）（c方+d方）≥（ac+bd）方

然后可以推到（a1方+a2方+...+an方）（b1方+b2方+...+bn方）≥（a1b1+a2b2+...+anbn）方

柯西不等式一般式為：

等號成立條件為：

一般形式推廣形式為：

此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述是：在m×n矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。

柯西不等式是由大數(shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的。

其二維形式為：

等號成立條件：

你好朋友！很高心為你解答！
高中階段只需要掌握二維形式的柯西不等式與柯西不等式向量形式
二維形式的柯西不等式公式：(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等號成立條件：ad=bc (a/b=c/d)

柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
　　等號成立條件：β為零向量，或α=λβ(λ∈R)。

樓主是否會聯(lián)想到其他形式呢？由類比推理思想可得：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
二維形式的證明
　　(a+b)(c+d)　(a,b,c,d∈R)
　　=a·c +b·d+a·d+b·c
　　=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c
　　=(ac+bd)+(ad－bc)
　　≥(ac+bd)，等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。

【親，希望對你有幫助~~】