平面圖形與立體圖形的神奇

? 平面圖形和立體圖形，他們中間也是有很多奧秘的，在三四年級的時候我們探究后，得知了一個長方形它的周長不變，如果它的長和寬差距越大，它的面積就越小，如果越接近面積就越大，如果正好是一個正方形的時候面積就最大。到了六年級的時候，幾何方面學(xué)習(xí)的是立體圖形，那么一個立體圖形它的體積也和平面圖形擁有同樣的規(guī)律嗎？

? 如題：

下面有四個長方形，面積都是一樣的。圓柱體可以圍成，就是用一個長方形將他的一組對邊接到一起，此時圍成的就是一個圓柱的側(cè)面，，當(dāng)然還要加上上底面和下底面。這個時候圍成這個圓柱體側(cè)面的長方形面積都一樣，但是長和寬卻各不相同。那么究竟圍成的哪一個圓柱體體積更大，哪一個更小呢？我們可以分別將它們的體積計算出出來——如圖：

把它們的體積分別對比一下，可以得出——1＞2＞3＞4。1號的體積最大，4號的體積最小。我發(fā)現(xiàn)了一件很神奇的事，長方形的長和寬差距越大，所圍成的圓柱體體積就越大，如果長方形的長和寬差距越小，那么體積就越小。這又讓我聯(lián)想起了，原來我們說平面圖形的面積的時候，一個長方形它的周長不變，如果它的長和寬差距越大，它的面積就越小，如果越接近面積就越大，如果正好是一個正方形的時候面積就最大。兩者一對比，發(fā)現(xiàn)正好相反。原來我一直感覺立體圖形也和平面圖形個規(guī)律一樣，誰知道他們竟然是相反的！

? 那么這樣的規(guī)律適用于所有的情況嗎？一個長方形的周長不變，長和寬差距越大，面積越小，差距小則反之。我們只是通過了幾個事例發(fā)現(xiàn)了這種規(guī)律不一定是普遍使用，還需要證明。如圖：

我們可以先假設(shè)一個長方形，還有一個和它周長一樣的正方形，如圖：

正方形的邊長可以用x來表示，他的面積是x的平方，也就是S1。長方形的長是b，寬是a，面積是ab，也就是S2?，F(xiàn)在我們?yōu)榱蓑炞C正方形的面積大于長方形的面積，可以用S1減去S2，看結(jié)果是否大于0，如果大于0說明正方形面積大于長方形面積，小于0就說明我們的猜想錯誤了。但這時遇到了一個問題，x2-ab，根本看不出來結(jié)果，這里有兩組未知數(shù)。我想到了一個方法，可以把x用ab的形式代表，這樣就可以運算了。那么它們之間有什么聯(lián)系呢？我想了一下，發(fā)現(xiàn)2x不就是a+b嗎，都是周長的一半，那么x=（a+b）÷2這個式子就出來了，x2就等于（a+b）÷2×（a+b）÷2，也就等于（a+b）/2×（a+b）/2，得到了（a+b）2/4。這時，我試著將兩個面積相減：（a+b）2/4-ab，但也不知道結(jié)果是否大于0。那么，可不可以試著把ab移到（a+b）2的地方，這樣算出來就可以直接得到一個分?jǐn)?shù)了。可是要怎么做到呢？首先要吧ab也變成一個分?jǐn)?shù)，還要保持大小不變，可以得到ab/1，但是（a+b）2/4-ab-ab/1也算不出來，必須讓他們的分母一樣才可以，這很簡單、直接讓ab/1的分子分母同時乘4就可以了，也就是4ab/4，這時（a+b）2/4-4ab/4就直接變成了（a+b）2-4ab/4，只用吧（a+b）2-4ab算出來就可以。我們可以吧（a+b）2拆分一下，這樣更方便算。（a+b）×（a+b）就等于a×（a+b）+b×（a+b），就是a2+2ab+b2，a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2，但這樣還是不行，最終我爸說再化簡就是（a-b）2，最終就是（a-b）2/4，那么到底大于0嗎？a和b都是自然數(shù)，（不等于0）相減等于自然數(shù)或者負(fù)數(shù)，自然數(shù)的平方÷4自然大于0。如果是負(fù)數(shù)就負(fù)負(fù)得正了，最終也會得到一個大于0得數(shù)，所以證明了S1＞S2。猜想是正確的。

? 那么圍成圓柱體長方形的長和寬差距越大，所圍成的圓柱體體積就越大，如果長方形的長和寬差距越小，那么體積就越小。這個猜想怎么證明？我目前還沒有想出來，所以還不能說這是一定正確的，但是以后等到學(xué)了更多的知識，我還會繼續(xù)證明的。

? 我們之前所說的那個猜想，就是長方形的長和寬差距越大，所圍成的圓柱體體積就越大，如果長方形的長和寬差距越小，那么體積就越小。這個規(guī)律適用于所有的立體圖形嗎？我們可以看一下長方體和正方體。我改變一下，變成不只是它的側(cè)面積相同，整個表面積也相同，這個時候它的體積又有怎樣的規(guī)律呢？我們可以先舉幾個特例來看一看。如圖：

我們可以先假設(shè)一個正方體，其中一個面的邊長是10，它的表面積就是600。再算一下，就可以得到這個正方體的體積就是1000。接著我又舉了幾個例子，是長方體。它們的表面積同樣也是600。這個時候再分別算一下它們的體積，一個是792，一個是687.5。將這幾個不同的立體圖形的體積對比一下可以得到：1000＞792＞687.5。我發(fā)現(xiàn)這個立體圖形其中一個面的長和寬差距越大，它的體積就越小。長寬越接近，體積就越大，當(dāng)是一個正方形的時候，它的體積最大。看來這個規(guī)律，也適用于別的立體圖形。

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