等差數(shù)列的求和公式及應(yīng)用
等差數(shù)列求和的公式背后的故事如下:
高斯在小時候就展現(xiàn)出了非凡的數(shù)學(xué)才華。在他上小學(xué)的時候,老師給出一道等差數(shù)列的題目,要求學(xué)生們計算出這個數(shù)列的和。這個數(shù)列是1、2、3、4、98、99、100。高斯在幾秒鐘內(nèi)就給出了答敏態(tài)案5050,而其他學(xué)生還在手動計算。
高斯解釋道:我們可以把這個數(shù)列分成50組,每組相加,第一組的第一個數(shù)和最后一組的最后一個數(shù)相加得到101,第二組的第一個數(shù)和倒數(shù)第二組的最后一個數(shù)相加得到101,依此類推。
因此,這100個數(shù)的和就是50乘以101等于5050。這個故事流傳下來,成為了等差數(shù)列求和公式背后的故事。等差數(shù)列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用A、P表示。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。
高等數(shù)學(xué)常見數(shù)列:
1、等差數(shù)列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用A、P表示。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。例沖老如:1、3、5、7、散拿升9,2n-1。通項公式為:an=a1+(n-1)*d。首項a1=1,公差d=2。
2、等比數(shù)列是指從第二項起,每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用G、P表示。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比數(shù)列a1≠0。其中【an】中的每一項均不為0。注:q=1時,an為常數(shù)列。
3、常數(shù)數(shù)列,也叫常數(shù)列,若一個數(shù)列的每一項都為一個相等的常數(shù),即an=a?(n∈N*),則數(shù)列【a】為常數(shù)數(shù)列。
4、對于一個數(shù)列,如果從數(shù)列的第2項起,每一項的值都不小于它前面的一項的值,則稱這樣的數(shù)列為遞增數(shù)列。
等比:
1.當(dāng)公比q=1時,Sn=na1
2.當(dāng)q不等于1時,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)
等差:
1.Sn=n(a1+an)/2
2. Sn=na1+n(n-1)d/2
等比數(shù)列公式就是在數(shù)學(xué)上求一定數(shù)量的等比數(shù)列的和的公式。另外,一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。
拓展資料;
等比的故事:
根據(jù)歷史傳說記載,國際象棋起源于古印度,至今見諸于文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的.據(jù)說,有位印度教宰相見國王自負虛浮,決定給他一個教訓(xùn)。
他向國王推薦了一種在當(dāng)時尚無人知曉的游戲.國王當(dāng)時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍,百無聊賴,很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情.
國王對這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣,高興之余,他便問那位宰相,作為對他忠心的獎賞,他需要得到什么賞賜。
宰相開口說道:請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子,第二個格子上放2粒,第三個格子上放4粒,第四個格子上放8?!疵恳粋€次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的倍數(shù),直到最后一個格子第64格放滿為止,這樣我就十分滿足了。 “好吧!”國王哈哈大笑,慷慨地答應(yīng)了宗師的這個謙卑的請求.
這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢?稍微算一下就可以得出:1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1,直接寫出數(shù)字來就是18,446,744,073,709,551,615粒,這位宰相所要求的,竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和!
如果造一個寬四米,高四米的糧倉來儲存這些糧食,那么這個糧倉就要長三億千米,可以繞地球赤道7500圈,或在日地之間打個來回。
國王哪有這么多的麥子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。
正當(dāng)國王一籌莫展之際,王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事,他笑著對國王說:“陛下,這個問題很簡單啊,就像1+1=2一樣容易,您怎么會被它難倒?”國王大怒:“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他?”年輕的教師說:“沒有必要啊,陛下。
其實,您只要讓宰相大人到糧倉去,自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒,數(shù)完18,446,744,073,709,551,615粒麥子所需要的時間,大約是5800億年(大家可以自己用計算器算一下?。?/p>
就算宰相大人日夜不停地數(shù),數(shù)到他自己魂歸極樂,也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話,就不是陛下無法支付賞賜,而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜?!眹趸腥淮笪颍?dāng)下就召來宰相,將教師的方法告訴了他。?
西薩·班·達依爾沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超過了我,那些賞賜……我也只好不要了!”當(dāng)然,最后宰相還是獲得了很多賞賜(沒有麥子)。
等差數(shù)列前N項和公式S=(A1+An)N/2 ,等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種,可以用AP表示,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差數(shù)列{an}的通項公式為:an=a1+(n-1)d。前n項和公式為:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。注意: 以上整數(shù)。
擴展資料
日常生活中,人們常常用到等差數(shù)列如:在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時,當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數(shù)列進行分級。若為等差數(shù)列,且有an=m,am=n,則am+n=0。其于數(shù)學(xué)的中的應(yīng)用,
可舉例:快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個,算法不止一種,這里介紹用數(shù)列算令等差數(shù)列首項a1=24(24為6的4倍),等差d=6;于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
【答案】C
2.(2010安徽文數(shù))設(shè)數(shù)列 { an } 的前n項和 Sn = n^2 ,則 a8 的值為
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
【答案】A
3.(2010重慶文數(shù))在等差數(shù)列 { an } 中,a1 + a9 = 10 ,則 a5 的值為
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
【答案】A
4.(2010福建理數(shù))設(shè)等差數(shù)列 { an } 的前n項和為 Sn ,若a1= -11 ,a4 + a6 = -6 , 則當(dāng) Sn 取最小值時,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
5.(2010廣東理數(shù))已知 { an } 為等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若 a2·a3 = 2a1 , 且a4 與2a7 的等差中項為 5/4 ,則 S5 =
A.35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
6.(2010湖北文數(shù))已知等比數(shù)列{ am }中,各項都是正數(shù),且 a1,(1/2)a3 ,2a2 成等差數(shù)列,則(a9 + a10)/ (a7 + a8) =
A. 1 + √2 B.1 - √2 C.3 + 3√2 D.3 - 2√2
【答案】C
7.(2010福建理數(shù))設(shè)等差數(shù)列 { an } 的前n項和為Sn ,若a1= -11 ,a4 + a6 = -6 ,則當(dāng) Sn 取最小值時,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
8.(2010遼寧文數(shù))設(shè) Sn 為等差數(shù)列 { an } 的前 n 項和,若S3 = 3 ,S6 = 24 ,則a9 = 。
【答案】15
所謂橫列式,以站房為參照物,股道之間橫向并列布置。所謂縱列式,以站房為參照物,股道之間縱向順線路布置。所謂半縱列式,以站房為參照物,股道之間縱向順線路布置,但橫向有交叉。
平方差公式是:a2-b2=(a+b)(a-b);平方和公式是求連續(xù)自然數(shù)的平方和的公式用字母可表示為:【n(n+1)(2n+1)】/6。
1、平方和公式是一個比較常用公式,用于求連續(xù)自然數(shù)的平方和,其和又可稱為四角錐數(shù),或金字塔數(shù)也就是正方形數(shù)的級數(shù)。
2、平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)。平方差: 一個平方數(shù)或正方形,減去另一個平方數(shù)或正方形得來的乘法公式。
3、完全平方差公式:(a-b)2=a2-2ab+b2,完全平方差:兩數(shù)差的平方, 等于它們的平方和,減去它們的積的2倍即完全。
平方差公式的特點如下:
左邊是兩個二項式的積,在這兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數(shù);右邊是完全相同的項的平方減去符號相反項的平方。
平方差公式(formula for the difference of square)是指兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積,等于這兩個數(shù)的平方差 。公式中字母的不僅可代表具體的數(shù)字、字母、單項式或多項式等代數(shù)式。
在三角函數(shù)公式中,有一組公式被稱為三角平方差公式。由于酷似平方差公式而得名,主要用于解三角形。
平方差公式中常見錯誤(教學(xué)中需注意):
①學(xué)生難于跳出原有的定式思維,如典型錯誤(錯因:在公式的基礎(chǔ)上類推,隨意“創(chuàng)造”)。
②混淆公式。
③運算結(jié)果中符號錯誤。
④變式應(yīng)用難以掌握。
注意事項:
1.公式的左邊是兩個二項式的積,在這兩個二項式中有一項是完全相同的。
2.右邊的結(jié)果是乘式中兩項的平方差,相同項的平方減去相反項的平方。
3.公式中的a,b 可以是具體的數(shù),也可以是單項式或多項式。
- 1如何應(yīng)酬?
- 2一個陌生人 作文600
- 3女生怎么變酷或帥?
- 4穿越之庶母有毒
- 5青春校園學(xué)渣變學(xué)霸的小說名可以叫什么?
- 6同事說我講話太生硬了,有種居高臨下的感覺,可我不以為然,那我該怎么改變呢?親,你們幫我解答好嗎?
- 7好看的召喚類女強小說,要書名
- 8及時糾正“開學(xué)焦慮癥”很關(guān)鍵,應(yīng)該用什么方法呢?
- 9哪里能看英超
- 10妖精的尾巴動畫每周幾更新?
- 11小白兔采蘑菇會發(fā)生什么事
- 12如果教一個成年人初學(xué)鋼琴,第一課應(yīng)該從什么教材開始?
- 13小說逆天馭獸師中君慕傾手上戴著一個手鐲什么時候得到的 哪章有寫
- 14制作金庸群俠傳2.3的半瓶神仙醋參與制作大俠傳了嗎?
- 15求逃嫁新娘全本+番外 作者:酒壑盛人
- 16小鹿陪玩可以綁定別人的銀行卡嗎?
- 17一個陌生人發(fā)這個是什么意思
- 18春晚小品《不差錢》丫蛋兒的臺詞 ?????
- 19女主穿越小馬寶莉有哪些小說?
- 20求可愛小動物的小說
- 21鈷鉧潭西小丘記
- 22西點是什么意思?
- 23實實的睡個好覺用英語翻譯怎么說
- 24神經(jīng)性頭疼
- 25印順法師是善知識嗎?
- 26美式發(fā)音怎么讀?
- 27修真世界講了一個什么樣的故事?
- 28給她表白她回答說:給我一點時間,消化一下。是什么意思?
- 29愛情真的會出現(xiàn)奇跡嗎?
- 30武動乾坤等級劃分
- 等差求和數(shù)列公式
- 等差數(shù)列求和公式
- 數(shù)列等差公式求和
- 《等差數(shù)列求和公式》
- 等差數(shù)列的求和公式
- 等差數(shù)列的公式求和
- 等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式
- 等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式
- 等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式
- 等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式
- 等差,等比數(shù)列求和公式
- 等比等差數(shù)列公式求和
- 等差等比數(shù)列求和公式
- 等比等差數(shù)列求和公式
- 等比等差數(shù)列的求和公式
- 等比和等差數(shù)列的求和公式
- 等差和等比數(shù)列的求和公式
- 等比和等差數(shù)列求和公式
- 等差數(shù)列求和公式an
- 等差數(shù)列求和公式sn
- 等差數(shù)列求差的公式
- 等差數(shù)列的求和公式1
- 等差數(shù)列求和公式項數(shù)
- 等差數(shù)列求和項數(shù)公式
- 等差數(shù)列及等差數(shù)列求和題目
- 等差數(shù)列的公式和等比數(shù)列的公式
- 等差數(shù)列求和公式兩個
- 等差數(shù)列求和公式三種
- 等差數(shù)列求和公式三個
- 等差數(shù)列三個求和公式
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 愛上小偷有聲小說
- 阿守有聲小說
- 愛情配音有聲小說
- 愛有聲小說怎么
- 愛講故事的寧寧寧
- 暗戀難防有聲小說在線收聽
- asmr在線有聲讀物
- 艾寶良有聲書盜墓筆記
- 傲風(fēng)一刀蘇蘇有聲小說
- 阿城播音的有聲小說
- au有聲書操作教程
- 愛有聲小說網(wǎng)
- 安裝番茄暢聽有聲小說
- 鞍山有聲小說大全
- 愛聽故事網(wǎng)有聲小說
- 曖昧養(yǎng)成系統(tǒng)有聲小說
- 阿沫動漫解說有聲小說
- 愛上枕邊的你小說有聲小說
- 阿陳的有聲小說有哪些
- 奧修名言有聲書
- 艾寶良鬼吹燈
- 艾格有聲讀物
- 愛必夠有聲小說
- 愛情故事有聲書
- 艾寶良鬼吹燈打包有聲小說
- 阿鎖小說中宮有聲
- 愛有聲小說網(wǎng)無上至尊
- 愛情保衛(wèi)戰(zhàn)有聲小說白發(fā)夫妻
- 奧語有聲小說
- 安童生童話
- 霸王別姬南音樂曲
- 閉著眼睛說相聲的是誰
- 博士說相聲片
- 巴赫小快板鋼琴曲
- 白敬亭相聲秒懂課堂
- 爸爸是說相聲的女歌手
- 爆笑經(jīng)典相聲全集
- 白眉大俠免費評書
- 百鳥朝鳳評書
- 北方鼓詞理解我要圍鼓詞
- 包頭華聯(lián)相聲
- 拜厄65頁小快板
- 爆笑相聲笑翻全場
- 百家姓相聲貫口
- 白眉大俠評書單田芳全二部
- 北京科教記憶公式相聲
- 北京相聲演員陳磊
- 包公賠情唱段二人轉(zhuǎn)全集
- 包容女聲二人轉(zhuǎn)版
- 北京琴書的曲子
- 博韜評書免費聽
- 北京相聲演員一場多少錢
- 不必有標題
- 北舞芭蕾四級小快板
- 包頭二人轉(zhuǎn)組合豪放互摸
- 白眉大俠評書續(xù)集161
- 北京臺村晚相聲
- 北京德云社相聲門票價格
- 八年級下冊數(shù)學(xué)全解
- 霸王別姬說書段子
- 初三英語音標九下
- 初三英語上次知識點
- 初三英語必考重點詞匯大全
- 初一英語80分初二考多少
- 初一就學(xué)初二的英語好嗎
- 初三英語語法有幾個
- 初三英語鼓勵話語大全短句
- 初一英語影視劇作文怎么寫
- 初二英語感覺好多了怎么學(xué)
- 初一英語過去式游記作文
- 初二上學(xué)期英語諺語匯總
- 初二的英語不會讀怎么辦
- 初一英語課文背誦時間表
- 初三英語大單元作文范文
- 初二下英語北京作文怎么寫
- 初三英語u12翻譯
- 初一英語基礎(chǔ)語法名詞解釋
- 初一英語第一二課課文
- 初一英語單詞上冊u2
- 初二英語課文閱讀軟件有哪些
- 初一英語考八十分難嗎北京
- 初三英語固定搭配短語默寫
- 初一英語單詞第9單元領(lǐng)讀
- 初三英語成考詞匯大全
- 初一和初二英語哪個好上
- 初三英語作文技巧和方法
- 初一英語上冊譯林版50頁
- 初一英語5頁怎么讀怎么寫
- 初二英語過去式列表怎么讀
- 初一英語考試作文好句子
- 迪士尼灰姑娘
- 大學(xué)英語四六級官網(wǎng)
- 德語俄語語法
- 電影歌劇魅影
- 冬天問候的句子
- 大學(xué)資源網(wǎng)
- 讀完十萬個為什么的感受30字
- 等待的戈多
- 動畫片西游記44集
- 帶著倉庫到大明全文免費閱讀
- 動物的經(jīng)典童話故事
- 德語愛情詩
- 電視劇非誠勿擾
- 電視劇你是我愛人
- 對女生表達思念的詩句
- 大班可以學(xué)的漢字
- 嫡女為凰全文免費閱讀
- 嫡女毒妃全文免費閱讀
- 大海有關(guān)的歌詞
- 狄娜
- 道德經(jīng)第13章原文及譯文
- 大風(fēng)歌朗誦視頻
- 都市之最強狂兵完整版
- 大學(xué)教材電子版
- 東北民間軼事免費聽
- 動物找朋友
- 大秧歌廣場舞扇子舞
- 多想告訴你是哪首歌
- 達斡爾族經(jīng)典民歌
- 德語歌曲
- 兒童啟蒙英語兒歌mp4
- 二年級英語第4單元測試卷
- 兒童啟蒙早教英語家庭系列
- 二模英語哪里最好過啊初三
- 兒童啟蒙英語動物園河馬
- 兒童啟蒙英語故事全集中文
- 兒童啟蒙英語歌曲兒歌大全
- 兒童聽英語啟蒙用什么設(shè)備
- 兒童啟蒙英語筆記七下
- 二年級英語上冊外研版m6測試卷
- 兒童啟蒙運動英語怎么寫
- 兒童啟蒙英語兒歌大全早教
- 俄語怎么訓(xùn)練聽力
- 兒童啟蒙學(xué)英語早教顏色
- 兒童啟蒙早教益智學(xué)英語
- 兒童為什么要英語啟蒙課
- 兒童啟蒙學(xué)英語零基礎(chǔ)
- 兒童啟蒙英語開心鼠怎么購
- 兒童啟蒙英語單詞快速背誦
- 耳聽力分辨能力
- 兒童啟蒙英語教育最好的
- 兒歌英語啟蒙有用嗎嗎
- 兒童啟蒙運動英語單詞
- 兒歌英語啟蒙課怎么上啊
- 兒童啟蒙英語魔性小黃鴨
- 兒童啟蒙英語63集是什么
- 兒童挖掘機挖土英語啟蒙
- 兒童啟蒙英語寶媽怎么教
- 兒童啟蒙成語英語怎么說
- 兒童幼兒識字早教機寶寶英語啟蒙
- 負1英語怎么讀
- 豐田汽車好嗎
- 分手后的情書感人
- 福爾摩斯探案集介紹
- 豐田氫動力汽車
- 發(fā)人深省的文章
- 粉紅女和女粉紅 繞口令
- 烽火姻緣電影
- 芙蓉夜雨
- 反方向的鐘周杰倫mp3
- 方言重慶
- 封神演義每回概括
- 非誠勿擾女嘉賓郝文婕
- 番木瓜官網(wǎng)在線觀看
- float
- 風(fēng)箏的詩詞有哪些
- 法國ds汽車報價
- 凡人長生
- 瘋狂騎士團攻略
- 防治傳染病流行病應(yīng)急預(yù)案
- 風(fēng)鈴的閱讀答案
- 封開縣天氣預(yù)報
- 反思的句子
- 封閉健身減肥
- 鳳城天鵝湖
- 福建師范大學(xué)教育學(xué)院
- 防災(zāi)減災(zāi)開放時間
- 凡人修仙傳混沌篇免費閱讀
- 福爾摩斯和神探夏洛克
- 反思作文200字
- 廣東中考 高分突破英語
- 桂林2017年英語中考
- 廣東中考英語復(fù)習(xí)指導(dǎo)
- 廣西中考分數(shù)英語
- 廣西貴港中考英語2019
- 高中考英語改錯技巧
- 各地中考2023英語
- 廣東2018英語中考作文
- 貴陽英語中考如何復(fù)習(xí)
- 廣州初中中考英語聽說
- 廣東中考英語模擬 文庫
- 廣州中考英語作文諺語
- 廣州2017英語中考卷
- 貴陽英語中考考多久
- 廣東中考作文英語范文
- 貴陽英語中考時間多長
- 貴陽市 英語 中考
- 甘肅平川中考英語作文
- 廣東中考英語時間多少
- 廣州各區(qū)中考英語卷
- 貴州中考省考英語
- 關(guān)于中考的英語作業(yè)
- 廣州中考2017英語作文
- 桂林中考英語分級
- 甘肅聚焦中考英語2017
- 廣州英語中考定語從句
- 關(guān)于英語端午中考作文
- 高中考試英語提升
- 廣州中考英語聽說練習(xí)
- 廣東中考英語聽說總分
- 好聽的dj歌曲軟件
- 黃偉文經(jīng)典歌曲50首
- 海底音樂免費下載
- 海戀伴奏f調(diào)下載
- 好收成合唱伴奏
- 懷舊經(jīng)典老歌100首歌曲大全老歌
- 韓版花樣男子全部歌曲下載地址
- 紅塵情歌曲原唱
- 黃綺珊的經(jīng)典歌曲
- 懷舊100首閩南歌曲
- 紅色彼岸花歌曲下載
- 洪卓立
- 河北音樂廣播今天中午播的歌
- how you like that音樂免費下載
- 紅塵相愛伴奏山歌
- 還是一個人好歌曲
- 黃梅戲歌曲大全100首
- 好聽歌曲大全100首連續(xù)唱
- 懷舊經(jīng)典歌曲200首
- 何日君再來,伴奏
- 紅花會貝貝全部歌曲鏈接
- 黃家駒經(jīng)典歌曲大全下載
- 好玩的配音軟件
- 黑鴨子經(jīng)典歌曲500首
- 海來阿木全部歌曲免費下載
- 歡快的適合做背景的音樂
- 后聲音樂舊版本下載
- 回到你面前伴奏下載
- 婚宴歌曲大全100首
- 紅色歌曲100首
- 講兒童依戀的故事
- 景甜發(fā)型兒童故事
- 劍橋國際少兒英語二年級
- 江蘇二年級英語聽力教輔
- 交通擁堵英語四級翻譯預(yù)測
- 冀教版英語二年級兒歌
- 劍橋少兒英語考試鄭州
- 精彩故事兒童食譜
- 九轉(zhuǎn)成神下載txt
- 江蘇英語一年級人教版跟讀
- 假凰虛鳳txt下載
- 劍橋國際少兒英語1內(nèi)容
- 雞蛋哥哥兒童故事
- 就業(yè)英語四級
- 嘉興一年級學(xué)英語嗎
- 巨莽少年txt
- 九年級全一冊英語第五單元3a短語
- 賈楠英語四級
- 簡短幽默兒童故事大全
- 涇陽縣一年級英語
- 江蘇一年級樂考英語
- 九年級下冊英語第十四單元3a知識點
- 九轉(zhuǎn)成神txt下載
- 九轉(zhuǎn)成神 txt下載
- 崛起1796txt
- 江蘇專升本要過英語四級
- 九年級全一冊英語八單元3a續(xù)寫
- 冀教版七年級英語下冊Lesson 3句型
- 簡單英語手繪課文一年級
- 劍橋國際少兒英語5單元
- 狂婿陳鐵有聲書
- 抗日之軍工為王有聲小說
- 課程錄音有聲小說
- 恐怖鬼故事民間
- 孔二狗東北往事20年有聲小說
- 快穿反派女配你有毒有聲書
- 可可小愛有聲小說第二季
- 空間穿越彪悍掌家農(nóng)女有聲小說
- 狂醫(yī)凰妃有聲書
- 空間農(nóng)女家中夫君猛如虎
- 凱叔講故事紅樓夢
- 抗日之草根英雄有聲小說
- 苦兒流浪記有聲書
- 開局封號斗羅有聲小說
- 坑爹兒子鬼醫(yī)娘子有聲小說
- 凱叔講故事有聲書出版大獎
- 恐龍小說有聲
- 咖寶車神重工戰(zhàn)隊
- 可以自動有聲閱讀小說
- 曠世嬌子有聲小說
- 酷我音樂里的有聲讀物在哪
- 科學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)
- 昆侖小說有聲書
- 考證必聽健康管理師有聲小說
- 科幻懸疑無限流
- 酷聽網(wǎng)有聲小說昆蟲記
- 空有聲小說
- 卡徒小說有聲版
- 開異界有聲小說
- 抗戰(zhàn)最佳后勤有聲小說
- 六年級2020期末英語
- 六年級上冊群文閱讀英語
- 六年級下冊英語下冊譯林
- 六年級的上冊英語第21
- 龍山中學(xué)六年級英語期中
- 六年級泡泡魚英語下冊
- 六年級英語下冊 第18頁
- 六年級練習(xí)英語聽力音頻
- 六年級下冊英語河北版的
- 六年級下英語作文簡單范文
- 六年級驚訝造句英語版
- 六年級下冊英語11課中文
- 六年級下英語p16
- 六年級用婆娑組詞嗎英語
- 六年級英語第38頁朗讀
- 六年級上冊英語模塊9單詞
- 六年級怎么翻譯英語課文
- 六年級英語下冊62頁跟讀
- 六年級英語介紹自己的臥室
- 六年級英語開學(xué)銜接課
- 六年級英語下冊第單元對話
- 六年級英語上冊技巧和方法
- 六年級下冊英語廣州版下冊
- 六年級必背句子英語下冊
- 六年級下冊英語2fun
- 六年級下冊學(xué)霸英語軟件
- 六年級英語下冊聽跟讀軟件
- 六年級英語怎么提高差生
- 六年級英語語法三單
- 六年級的優(yōu)秀英語句子
- 描寫動物的英語作文六年級
- 描寫六年級英語作文帶翻譯
- 米小圈黑白格
- 描寫勇敢的英語詩句六年級
- 米小圈口算課
- 美文英語四級作文范文
- 忙碌的寒假英語日記六年級
- 米小圈鋼槍記
- 米小圈古詩秋夜
- 夢想篇初三作文英語
- 米小圈大拉鏈
- 描寫人物的英語作文六年級
- 米小圈變魔術(shù)
- 米小圈潘多美
- 米小圈帶病上課
- 米小圈和豹子
- 米小圈公園嗎
- myhero英語作文帶翻譯初二
- mydiary英語作文4句六年級
- 米小圈出塞古詩
- 米小圈下象棋
- 米小圈道具衣服
- 米小圈帥氣屏障
- 米小圈10集
- 米小圈的類別
- 名師測控六年級上冊英語JQ
- m7八年級上英語
- 米小圈的類型
- 名師同步課堂六年級上冊英語
- 米小圈老婆懷孕
- 農(nóng)村的詭異事件
- 拿什么來拯救你我的愛人有聲小說
- 男主文弱身體不好但聰慧的有聲小說
- 逆流2002有聲小說
- 女神捕有聲小說
- 你被我設(shè)計了有聲小說
- 逆襲1988有聲小說
- 牛奶可樂經(jīng)濟學(xué)
- 你配得上工作嗎
- 你好喬安大結(jié)局有聲小說
- 女主重生文有聲小說
- 你是我最美的時光有聲小說
- 哪里對有聲書有需求
- 哪吒鬧海全集
- 寧艷麗有聲小說
- 牛大寶所有有聲書作品
- 女主不知道男主身份的有聲書
- 你叉叉窮哈哈
- 虐戀古代穿越有聲小說推薦
- 女神的貼高手有聲小說在線收聽
- 哪里有免費的有聲書
- 哪個軟件可以一起聽有聲小說
- 倪海廈紫微斗數(shù)
- 娘畫骨香有聲小說
- 女主是阮云歡的有聲小說
- 哪部有聲小說有白狐
- 哪里能聽到沙海有聲小說
- 男神暗戀日記有聲書
- 念佛法要有聲書
- 哪里可以聽到有聲小說
- ok配音網(wǎng)
- 歐弟相聲德云社
- 歐布奧特曼銀河奧特曼
- 歐布奧特曼哦
- 歐布奧特曼賽羅
- 歐洲大鼓樂器
- 歐迪瑪
- 歐布奧特曼歐布奧特曼
- 歐弟拜師學(xué)相聲大全
- 歐珠朗誦平臺
- 歐布奧特曼疾風(fēng)形態(tài)
- 歐布奧特曼的cp
- 偶爾想說話的七寶
- 歐布奧特曼2
- 歐布奧特曼凱
- OT6
- 偶遇民間二人轉(zhuǎn)
- Ocean family by Oscar
- 歐陽雨曼暑假作業(yè)
- 歐陽娜娜說書
- OLO賣出流程
- 歐布奧特曼中文版國語
- 偶爾的小任性
- OzCow純凈牛奶
- 歐詩漫護膚達人
- 歐布奧特曼 下載
- oNfriDay
- 歐布奧特曼之原生之初中文版
- 歐布奧特曼原生之初中文版
- 歐布奧特曼有什么
- 瓶子英語小學(xué)生怎么讀
- 平陽縣小學(xué)生英語
- 披著小學(xué)生的外衣英語
- 派樂多英語 小學(xué)生
- 培新小學(xué)生英語采訪
- 培養(yǎng)小學(xué)生閱讀英語興趣
- 平板怎樣學(xué)習(xí)英語小學(xué)生
- 培養(yǎng)小學(xué)生英語學(xué)習(xí)能力
- 貧困的小學(xué)生的英語
- 派大星講英語小學(xué)生
- 平板學(xué)英語軟件小學(xué)生
- 普通英語學(xué)習(xí)軟件小學(xué)生
- 聘請昆明小學(xué)生英語家教
- 培養(yǎng)小學(xué)生學(xué)英語目的
- 培養(yǎng)小學(xué)生英語自主閱讀
- 盤點小學(xué)生搞笑讀英語
- 朋友的英語作文小學(xué)生
- 蘋果平板英語軟件小學(xué)生
- 破冰小學(xué)生英語語法
- 培養(yǎng)小學(xué)生英語提問能力
- 盤點小學(xué)生感人作文英語
- 平板小學(xué)生英語學(xué)習(xí)軟件
- 培養(yǎng)小學(xué)生閱讀英語能力
- 攀登英語學(xué)習(xí)軟件小學(xué)生
- 盤點美麗小學(xué)生作文英語
- 平和租房軟件英語小學(xué)生
- 盤點小學(xué)生的口號英語
- 平谷區(qū)小學(xué)生英語
- PK英語學(xué)習(xí)軟件小學(xué)生
- 陪小學(xué)生學(xué)好英語作文
- 曲藝種類有哪些
- 七的乘法口訣
- 汽車音響大全
- 全部歌曲免費下載
- 七年級英語筆記上冊
- 秦始皇 驪山
- 邱勇
- 全家人互愛共樂的日子
- 清風(fēng)莫晚
- 七歲兒童故事在線聽
- 前元音的單詞
- 秦四大名將
- 汽車養(yǎng)護產(chǎn)品
- 沁園春長沙原文
- 汽車機油燈
- 七王爺?shù)男“敌l(wèi) 則予
- 全能棄少陳風(fēng)免費閱讀
- 奇門遁甲 起局
- 清穿貴妃榮寵記 予之微
- 情侶古詩詞
- 七歲兒童的謎語
- 槍聲背景音樂
- 全球高武在線聽書免費
- 青銅器二龍戲珠
- 清平樂村居古詩朗誦
- 七夕這首詩的拼音版
- 強勢鎖婚傅少的啞巴妻
- 汽車噴漆怎么調(diào)漆
- 青龍?zhí)堵糜物L(fēng)景區(qū)
- 喬清秀河南墜子
- 榮德基初二英語聽力
- 人教版初一英語講什么
- 人教版3年級英語字母對照表
- 仁愛初三英語的單詞
- 如何分析六年級英語
- 人教版六年級英語軟件
- 人教英語3年級y的寫法
- 人教版八年級英語下冊課文單詞mp3
- 人教版七年級下冊英語unit3說課
- 人教版英語八年級下冊54頁2b翻譯
- 人教版英語初二上冊作文范文
- 人教版英語六年級 閱讀
- 人教版初一英語的重難點
- 人教版英語六年級合集
- 人教版初三英語單詞下
- 人教版六年級英語德育
- 人教版英語六年級語音
- 如何提升初一英語水平
- 如何消耗初中生精力呢英語
- 人教版初三英語課文改編
- 仁愛版初二英語詞匯
- 人教版初二英語知識點匯總
- 如何學(xué)好英語初三學(xué)生
- 日記用英語六年級
- 人教六年級英語聽力mp3
- 仁愛初一英語作文范文
- 人教版六年級英語月考
- 人教版八年級上英語unit2優(yōu)質(zhì)課
- 人教版上冊英語六年級
- 人教版初一英語學(xué)前教育
- 山東琴書葉子快
- 陜派相聲呂林
- 說個快板
- 山東快板繞口令
- 沙漠相聲大全
- 蘇州評彈評話后包公
- 孫小寶京東大鼓詞
- 什么樣的相聲填空
- 說的一口好相聲
- 搜索相聲五官爭功
- 適合元旦的快板一個人
- 燒餅西裝相聲
- 散打評書表演
- 山東琴書劉志福
- 山東琴書怎么寫好看
- 是相聲譜系第六代傳人
- 說相聲為了啥
- 陜西相聲貫口
- 山東琴書楊廣游湖
- 陜北說書賣婆姨3免費
- 蘇州長篇彈詞匯編下
- 孫濤尤憲超相聲完整版
- 手快板速版
- 刷子李天津快板
- 三俠劍評書四打蓮花湖
- 石連君的評書孫臏演義
- 聲相聲相區(qū)別
- 三人相聲劇本簡單點
- 三國演義評書155
- 蘇州評彈名段演唱會
- 天英老師三年級下冊英語
- 途途三年級英語試聽課
- 鐵堤小學(xué)三年級英語上冊
- 通泰小學(xué)三年級下冊英語
- 推薦英語片子怎么寫三年級
- 天天老師三年級英語68頁
- 兔子怎么讀英語三年級上冊
- 童年的煩惱三年級英語作文
- 聽力訓(xùn)練小學(xué)英語三年級下冊
- 同步學(xué)廣州版三年級英語
- 同步英語三年級下冊28頁
- 提升英語的方法三年級下
- 桐柏縣三年級上冊英語
- 臺山三年級英語第1課
- 天貓精靈三年級英語下冊
- 天津英語三年級下冊全解
- 太原市公立三年級英語
- 太原市三年級英語統(tǒng)考
- 筒易通三年級下冊英語
- this is my room三年級英語
- 特色作業(yè)英語三年級上冊畫
- 童年的句子訓(xùn)練三年級英語
- 同步學(xué)英語三年級上冊人教版
- 推薦三年級的英語課文
- 塔塔小學(xué)英語三年級上冊
- 天津小學(xué)三年級英語20課
- 同步訓(xùn)練英語三年級上冊pep
- 聽讀三年級英語15頁
- 同步學(xué)練測三年級英語
- 太原三年級期末英語考試
- 我的另一種人生有聲書
- 萬圣龍師有聲小說在線收聽
- 我家王妃超兇的有聲小說
- 我的狐仙老婆有聲讀物
- 我家后院是仙田有聲小說
- 無方少年游有聲小說免費聽
- 網(wǎng)絡(luò)恐怖有聲小說
- 晚上聽有聲小說會血壓高么
- 無限電影世界有聲小說
- 問鼎近戰(zhàn)高手有聲小說
- 位面成神之虛空戒免費有聲小說
- 完美完美上有聲小說
- 網(wǎng)易云有哪些有聲小說
- 未解之謎中國歷史篇
- 我想做有聲書需要做什么
- 網(wǎng)頁上的有聲小說如何
- 網(wǎng)絡(luò)上的有聲書配音
- 文章怎么變成有聲讀物
- 我爸是首富有聲小說
- 我的左眼是陰陽眼有聲小說七喜
- 萬古劍黃有聲小說
- 武神天下有聲小說禹風(fēng)
- 紈绔皇帝有聲小說免費聽
- 我就是一個農(nóng)民有聲小說
- 問境有聲小說
- 我的老千生涯免費有聲小說雷鳴
- 武神主宰有聲小說喜馬拉雅
- 王的女人有聲小說海洋聽書全
- 無線恐怖有聲讀物
- 我在末世有套房有聲書
- 小說健身引狼入室
- 小說電梯總裁
- 小說男主叫秦安逸
- 玄幻之無限靈石小說
- 小說生成器排行
- 小說深夜書屋在線閱讀
- 香港女演員小說閱讀
- 姓即墨校園小說
- 小說里玫瑰花粉過敏打噴嚏的章節(jié)
- 現(xiàn)代勵志類小說推薦
- 小說出版資訊
- 小說女主人公叫秦
- 小說床上鑰匙一樣
- 小說雪中悍刀行在線閱讀頂點
- 小說十四歲
- 玄幻小說愛吃西紅柿
- 玄幻熱血小說十大排行榜
- 仙魔志小說慕容宇
- 玄幻小說飛戶
- 向往的生活肖戰(zhàn)小說
- 小說神級狂婿岳風(fēng)
- 小說都市排行榜完結(jié)版
- 星運里的錯小說經(jīng)典
- 小說艷陽天三冊價格
- 小說人物陶景山
- 邪帝有關(guān)系的有聲小說
- 玄幻小說中魔獸森林
- 小說素未蒙面的未婚妻
- 小說免費閱讀素未謀面的未婚妻
- 小說女主角壞
- 英語超級好的小學(xué)生
- 英語經(jīng)典故事小學(xué)生
- 英語中表目的造句小學(xué)生
- 英語個人故事短篇小學(xué)生
- 英語寫給小學(xué)生的詩歌
- 英語讀物入門小學(xué)生
- 義烏小學(xué)生英語哪些好
- 英語鼓勵話語小學(xué)生作文
- 疫情英語單詞小學(xué)生
- 以前小學(xué)生有英語嗎
- 延吉小學(xué)生英語競賽時間
- 英語朗誦小學(xué)生集體朗誦
- 英語短語例句小學(xué)生簡單
- 英語小學(xué)生閱讀筆記短文
- 英語軟件推薦兒童小學(xué)生
- 英語小學(xué)生三級
- 英語單詞聽寫小學(xué)生
- 有小學(xué)生聰明嗎英語
- 用英語介紹寧夏小學(xué)生
- 英語小學(xué)生歌曲歌詞
- 用英語描寫朔州小學(xué)生
- 英語小學(xué)生好的建議
- 英語小學(xué)生夸獎的話語
- 有道英語學(xué)習(xí)神器小學(xué)生
- 幼兒園小學(xué)生英語
- 用英語怎么讀小學(xué)生
- 英語演講家鄉(xiāng)小學(xué)生
- 優(yōu)秀小學(xué)生英語作文范文
- 英語小學(xué)生發(fā)音技巧
- 英語歌曲小學(xué)生配音
- 走進新農(nóng)村宣傳快板
- 重慶二人轉(zhuǎn)唐僧泡妞
- 贊美青島快板詞
- 張俊功說書刮大風(fēng)詩
- 這個快板一打呀
- 肇東大舞臺阿夏二人轉(zhuǎn)
- 張少佐評書天龍8部
- 張鶴倫郎鶴炎相聲名氣大了
- 長篇方言評書孔二小姐7
- 淄博相聲
- 綜藝節(jié)目李金斗的相聲
- 主人給小牛穿二人轉(zhuǎn)棉襖
- 張志云唱李元霸大鼓
- 張斌相聲完整版
- 中戲相聲
- 重慶南坪金信大廈音樂酒館
- 最新小品相聲周云鵬
- 長篇評書趙匡胤后傳
- 最逗笑的相聲合集
- 趙曉波單桂清二人轉(zhuǎn)杜十娘
- 最近比較火的相聲
- 最新快板獲獎舞蹈
- 趙本山范偉的相聲完整版
- 醉酒相聲侯耀文
- 張九泰教劉筱亭快板
- 朱元璋評書四十五回
- 臟囗二人轉(zhuǎn)
- 鄭淑云韓琦殺廟二人轉(zhuǎn)全場
- 最近死的相聲演員是誰
- 翟波二人轉(zhuǎn)完整版唱段