數(shù)列等差公式求和
等差數(shù)列求和的公式背后的故事如下:
高斯在小時候就展現(xiàn)出了非凡的數(shù)學才華。在他上小學的時候,老師給出一道等差數(shù)列的題目,要求學生們計算出這個數(shù)列的和。這個數(shù)列是1、2、3、4、98、99、100。高斯在幾秒鐘內(nèi)就給出了答敏態(tài)案5050,而其他學生還在手動計算。
高斯解釋道:我們可以把這個數(shù)列分成50組,每組相加,第一組的第一個數(shù)和最后一組的最后一個數(shù)相加得到101,第二組的第一個數(shù)和倒數(shù)第二組的最后一個數(shù)相加得到101,依此類推。
因此,這100個數(shù)的和就是50乘以101等于5050。這個故事流傳下來,成為了等差數(shù)列求和公式背后的故事。等差數(shù)列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用A、P表示。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。
高等數(shù)學常見數(shù)列:
1、等差數(shù)列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用A、P表示。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。例沖老如:1、3、5、7、散拿升9,2n-1。通項公式為:an=a1+(n-1)*d。首項a1=1,公差d=2。
2、等比數(shù)列是指從第二項起,每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列,常用G、P表示。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比數(shù)列a1≠0。其中【an】中的每一項均不為0。注:q=1時,an為常數(shù)列。
3、常數(shù)數(shù)列,也叫常數(shù)列,若一個數(shù)列的每一項都為一個相等的常數(shù),即an=a?(n∈N*),則數(shù)列【a】為常數(shù)數(shù)列。
4、對于一個數(shù)列,如果從數(shù)列的第2項起,每一項的值都不小于它前面的一項的值,則稱這樣的數(shù)列為遞增數(shù)列。
等比:
1.當公比q=1時,Sn=na1
2.當q不等于1時,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)
等差:
1.Sn=n(a1+an)/2
2. Sn=na1+n(n-1)d/2
等比數(shù)列公式就是在數(shù)學上求一定數(shù)量的等比數(shù)列的和的公式。另外,一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構成一個等差數(shù)列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪Can,則是等比數(shù)列。
拓展資料;
等比的故事:
根據(jù)歷史傳說記載,國際象棋起源于古印度,至今見諸于文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的.據(jù)說,有位印度教宰相見國王自負虛浮,決定給他一個教訓。
他向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的游戲.國王當時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍,百無聊賴,很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情.
國王對這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣,高興之余,他便問那位宰相,作為對他忠心的獎賞,他需要得到什么賞賜。
宰相開口說道:請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子,第二個格子上放2粒,第三個格子上放4粒,第四個格子上放8粒……即每一個次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的倍數(shù),直到最后一個格子第64格放滿為止,這樣我就十分滿足了。 “好吧!”國王哈哈大笑,慷慨地答應了宗師的這個謙卑的請求.
這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢?稍微算一下就可以得出:1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1,直接寫出數(shù)字來就是18,446,744,073,709,551,615粒,這位宰相所要求的,竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和!
如果造一個寬四米,高四米的糧倉來儲存這些糧食,那么這個糧倉就要長三億千米,可以繞地球赤道7500圈,或在日地之間打個來回。
國王哪有這么多的麥子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。
正當國王一籌莫展之際,王太子的數(shù)學教師知道了這件事,他笑著對國王說:“陛下,這個問題很簡單啊,就像1+1=2一樣容易,您怎么會被它難倒?”國王大怒:“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他?”年輕的教師說:“沒有必要啊,陛下。
其實,您只要讓宰相大人到糧倉去,自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒,數(shù)完18,446,744,073,709,551,615粒麥子所需要的時間,大約是5800億年(大家可以自己用計算器算一下?。?/p>
就算宰相大人日夜不停地數(shù),數(shù)到他自己魂歸極樂,也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話,就不是陛下無法支付賞賜,而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜?!眹趸腥淮笪?,當下就召來宰相,將教師的方法告訴了他。?
西薩·班·達依爾沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超過了我,那些賞賜……我也只好不要了!”當然,最后宰相還是獲得了很多賞賜(沒有麥子)。
等差數(shù)列前N項和公式S=(A1+An)N/2 ,等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種,可以用AP表示,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差數(shù)列{an}的通項公式為:an=a1+(n-1)d。前n項和公式為:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。注意: 以上整數(shù)。
擴展資料
日常生活中,人們常常用到等差數(shù)列如:在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數(shù)列進行分級。若為等差數(shù)列,且有an=m,am=n,則am+n=0。其于數(shù)學的中的應用,
可舉例:快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個,算法不止一種,這里介紹用數(shù)列算令等差數(shù)列首項a1=24(24為6的4倍),等差d=6;于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
【答案】C
2.(2010安徽文數(shù))設數(shù)列 { an } 的前n項和 Sn = n^2 ,則 a8 的值為
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
【答案】A
3.(2010重慶文數(shù))在等差數(shù)列 { an } 中,a1 + a9 = 10 ,則 a5 的值為
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
【答案】A
4.(2010福建理數(shù))設等差數(shù)列 { an } 的前n項和為 Sn ,若a1= -11 ,a4 + a6 = -6 , 則當 Sn 取最小值時,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
5.(2010廣東理數(shù))已知 { an } 為等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若 a2·a3 = 2a1 , 且a4 與2a7 的等差中項為 5/4 ,則 S5 =
A.35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
6.(2010湖北文數(shù))已知等比數(shù)列{ am }中,各項都是正數(shù),且 a1,(1/2)a3 ,2a2 成等差數(shù)列,則(a9 + a10)/ (a7 + a8) =
A. 1 + √2 B.1 - √2 C.3 + 3√2 D.3 - 2√2
【答案】C
7.(2010福建理數(shù))設等差數(shù)列 { an } 的前n項和為Sn ,若a1= -11 ,a4 + a6 = -6 ,則當 Sn 取最小值時,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
8.(2010遼寧文數(shù))設 Sn 為等差數(shù)列 { an } 的前 n 項和,若S3 = 3 ,S6 = 24 ,則a9 = 。
【答案】15
所謂橫列式,以站房為參照物,股道之間橫向并列布置。所謂縱列式,以站房為參照物,股道之間縱向順線路布置。所謂半縱列式,以站房為參照物,股道之間縱向順線路布置,但橫向有交叉。
平方差公式是:a2-b2=(a+b)(a-b);平方和公式是求連續(xù)自然數(shù)的平方和的公式用字母可表示為:【n(n+1)(2n+1)】/6。
1、平方和公式是一個比較常用公式,用于求連續(xù)自然數(shù)的平方和,其和又可稱為四角錐數(shù),或金字塔數(shù)也就是正方形數(shù)的級數(shù)。
2、平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)。平方差: 一個平方數(shù)或正方形,減去另一個平方數(shù)或正方形得來的乘法公式。
3、完全平方差公式:(a-b)2=a2-2ab+b2,完全平方差:兩數(shù)差的平方, 等于它們的平方和,減去它們的積的2倍即完全。
平方差公式的特點如下:
左邊是兩個二項式的積,在這兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數(shù);右邊是完全相同的項的平方減去符號相反項的平方。
平方差公式(formula for the difference of square)是指兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積,等于這兩個數(shù)的平方差 。公式中字母的不僅可代表具體的數(shù)字、字母、單項式或多項式等代數(shù)式。
在三角函數(shù)公式中,有一組公式被稱為三角平方差公式。由于酷似平方差公式而得名,主要用于解三角形。
平方差公式中常見錯誤(教學中需注意):
①學生難于跳出原有的定式思維,如典型錯誤(錯因:在公式的基礎上類推,隨意“創(chuàng)造”)。
②混淆公式。
③運算結果中符號錯誤。
④變式應用難以掌握。
注意事項:
1.公式的左邊是兩個二項式的積,在這兩個二項式中有一項是完全相同的。
2.右邊的結果是乘式中兩項的平方差,相同項的平方減去相反項的平方。
3.公式中的a,b 可以是具體的數(shù),也可以是單項式或多項式。
- 1用簡練的語言概括驚心動魄35分鐘的主要內(nèi)容?
- 2如何評價電視劇老版《三國演義》和《新三國》?
- 3好看的歐美愛情電影
- 4誅仙中青銅礦鐵礦石之類的東西在哪弄?
- 5東契奇助攻丁威迪絕殺籃網(wǎng),關鍵時刻他為何會分球給丁威迪?
- 6以詩句中的字開頭分別寫一個成語
- 7是不是和平精英主播都是掛啊感覺不是掛根本沒這么厲害吧?
- 8蜂圍蝶陣的意思與造句
- 9老聽人談起茶文化,茶文化包括哪幾點?
- 10口袋妖怪鉆石的幾個小問題
- 11怎樣能夠修心?。?/a>
- 12危機是什么?
- 13什么樣的男生成為校草
- 14蜂圍蝶陣的意思是什么
- 15福祿壽花怎么養(yǎng)?
- 16白天是什么意思
- 17與一個沒有戀愛經(jīng)歷的男生在一起,會有什么樣的感受?
- 18我男朋友叫我小妖精什么意思?貶義詞還是褒義詞?
- 19求傲風秦界諸神天空第五章第一節(jié)(手打的)
- 20三國時期呂布并沒有什么出色的戰(zhàn)績,為什么他卻能穩(wěn)占第一武將的位置呢?
- 21找不到人生目標怎么辦?
- 22什么是心有靈犀?心有靈犀象征著什么?
- 23寫一手好字的重要性是什么?
- 24這個女生是不是在撩我?我能追到她嗎?
- 25誰會靈魂出體?
- 26現(xiàn)實和虛幻我分不清楚了,怎么辦???
- 27“目標”和“目的”有什么區(qū)別?
- 28好看的穿越小說,女強,最好是魂穿,不要虐的,最好再推薦幾本關于EXO的小說,謝了哈~
- 29什么人無法往生西方極樂凈土?
- 30收音機品牌哪個好
- 等差求和數(shù)列公式
- 等差數(shù)列求和公式
- 《等差數(shù)列求和公式》
- 等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式
- 等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式
- 等差,等比數(shù)列求和公式
- 等比等差數(shù)列公式求和
- 等差等比數(shù)列求和公式
- 等比等差數(shù)列求和公式
- 等比和等差數(shù)列求和公式
- 等差數(shù)列的求和公式
- 等差數(shù)列求和公式an
- 等差數(shù)列求和公式sn
- 等差數(shù)列的公式求和
- 等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式
- 等差數(shù)列求和公式項數(shù)
- 等差數(shù)列求和項數(shù)公式
- 等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式
- 等比等差數(shù)列的求和公式
- 等比和等差數(shù)列的求和公式
- 等差和等比數(shù)列的求和公式
- 等差數(shù)列求差的公式
- 等差數(shù)列求和公式兩個
- 等差數(shù)列求和公式三種
- 等差數(shù)列求和公式三個
- 等差數(shù)列三個求和公式
- 等差數(shù)列中項求和公式
- 等差數(shù)列求和公式例題
- 等差數(shù)列的求和公式1
- 等差數(shù)列求n項和公式
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 安裝番茄暢聽有聲小說
- 奧語有聲小說
- 愛有聲小說怎么
- 阿鎖小說中宮有聲
- 愛必夠有聲小說
- 愛有聲小說網(wǎng)無上至尊
- 艾格有聲讀物
- 阿守有聲小說
- 愛聽故事網(wǎng)有聲小說
- au有聲書操作教程
- 愛情保衛(wèi)戰(zhàn)有聲小說白發(fā)夫妻
- 艾寶良有聲書盜墓筆記
- 愛上枕邊的你小說有聲小說
- 安童生童話
- 阿沫動漫解說有聲小說
- 阿城播音的有聲小說
- 鞍山有聲小說大全
- 奧修名言有聲書
- 愛情故事有聲書
- 暗戀難防有聲小說在線收聽
- 傲風一刀蘇蘇有聲小說
- 阿陳的有聲小說有哪些
- 艾寶良鬼吹燈打包有聲小說
- 愛情配音有聲小說
- 艾寶良鬼吹燈
- 愛上小偷有聲小說
- 愛有聲小說網(wǎng)
- 愛講故事的寧寧寧
- asmr在線有聲讀物
- 曖昧養(yǎng)成系統(tǒng)有聲小說
- 北京琴書的曲子
- 百鳥朝鳳評書
- 北戲相聲中專生
- 博士說相聲片
- 拜厄65頁小快板
- 北舞芭蕾四級小快板
- 爸爸是說相聲的女歌手
- 北京相聲演員一場多少錢
- 爆笑相聲笑翻全場
- 北京科教記憶公式相聲
- 包容女聲二人轉(zhuǎn)版
- 北京相聲演員陳磊
- 百家姓相聲貫口
- 爆笑經(jīng)典相聲全集
- 霸王別姬南音樂曲
- 北京臺村晚相聲
- 白鴿郭金杰二人轉(zhuǎn)
- 播放評書楊家將第三集
- 霸王別姬說書段子
- 不必有標題
- 白眉大俠免費評書
- 包公賠情唱段二人轉(zhuǎn)全集
- 博韜評書免費聽
- 閉著眼睛說相聲的是誰
- 白敬亭相聲秒懂課堂
- 包頭華聯(lián)相聲
- 北京德云社相聲門票價格
- 白眉大俠評書單田芳全二部
- 八年級下冊數(shù)學全解
- 白眉大俠評書續(xù)集161
- 初三英語成考詞匯大全
- 初一英語需要在外面補課嗎
- 初二下英語四單元單詞
- 初一英語考八十分難嗎北京
- 初三英語14單元閱讀翻譯
- 初三英語滿分能考多少
- 初二外教版英語單詞打卡
- 初二做英語時文可以提高成績嗎
- 初一就學初二的英語好嗎
- 初三英語優(yōu)美語句大全
- 初三英語傳統(tǒng)節(jié)日范文
- 初一英語上冊44頁2a
- 初一英語基礎語法名詞解釋
- 初一和初二英語哪個好上
- 初二適合給誰送禮物呢英語
- 初一英語小學幾年級應該學
- 初三英語音標九下
- 初一英語上冊譯林版50頁
- 初三英語要了解的介詞
- 初一英語詞義辨析初中高頻
- 初二英語網(wǎng)絡詞語匯總上冊
- 初三英語鯨魚課文內(nèi)容
- 初一英語單詞第9單元領讀
- 初三英語詞匯變型
- 初二英語第8單元的課文講解
- 初一英語翻譯要細心學嗎
- 初一英語翻譯第五頁
- 初一英語上學期單詞必背表
- 初三英語鼓勵話語大全短句
- 初三英語固定搭配短語默寫
- 大秧歌廣場舞扇子舞
- 電視劇你是我愛人
- 大學資源網(wǎng)
- 大學教材電子版
- 大海有關的歌詞
- 德語歌曲
- 電視劇非誠勿擾
- 讀完十萬個為什么的感受30字
- 嫡女為凰全文免費閱讀
- 迪士尼灰姑娘
- 狄娜
- 動畫片西游記44集
- 等待的戈多
- 東北民間軼事免費聽
- 嫡女毒妃全文免費閱讀
- 斗羅大陸在線播放
- 大班可以學的漢字
- 電影歌劇魅影
- 動物找朋友
- 德語愛情詩
- 大學英語四六級官網(wǎng)
- 都市之最強狂兵完整版
- 德語俄語語法
- 達斡爾族經(jīng)典民歌
- 冬天問候的句子
- 大風歌朗誦視頻
- 對女生表達思念的詩句
- 帶著倉庫到大明全文免費閱讀
- 蛋糕繪本
- 大氣演講背景音樂純音樂
- 兒童啟蒙英語順口溜簡單
- 兒童啟蒙英語63集是什么
- 兒童啟蒙英語兒歌大全100首
- 兒童早教英語啟蒙顏色樂園
- 兒童應用英語啟蒙方法總結
- 兒童啟蒙成語英語怎么說
- 兒歌英語啟蒙課怎么上啊
- 二年級英語第4單元測試卷
- 兒童早教英語啟蒙車載cd
- 兒童啟蒙英語魔性小黃鴨
- 兒童挖掘機挖土英語啟蒙
- 兒童啟蒙運動英語怎么寫
- 兒童啟蒙學英語零基礎
- 兒童啟蒙英語開心鼠怎么購
- 兒童啟蒙早教英語家庭系列
- 兒童啟蒙英語動物園河馬
- 兒童為什么要英語啟蒙課
- 兒童啟蒙英語單詞快速背誦
- 兒童啟蒙英語故事全集中文
- 兒歌英語啟蒙有用嗎嗎
- 兒童啟蒙早教益智學英語
- 兒童幼兒識字早教機寶寶英語啟蒙
- 兒童啟蒙英語教育最好的
- 兒童啟蒙英語兒歌mp4
- 兒童啟蒙英語摩托車音樂
- 兒童啟蒙英語0到10級
- 兒童啟蒙歌曲大全英語翻譯
- 兒童真人啟蒙英語故事大全
- 兒童啟蒙運動英語單詞
- 二模英語哪里最好過啊初三
- 發(fā)個朋友圈的句子喝粥
- 非常的近義詞是什么
- 福爾摩斯探案集介紹
- 反方向的鐘周杰倫mp3
- 馮一平
- 父母戶口沒在一起孩子戶口怎么上戶口
- 負1英語怎么讀
- 方舟生存進化的游戲
- 飛虎隊電視劇
- 方言重慶
- 非誠勿擾女嘉賓郝文婕
- 芙蓉堂
- 番木瓜官網(wǎng)在線觀看
- 飛天山攻略
- 風景的勵志文案
- 鳳城天鵝湖
- 芙蓉夜雨
- 封開縣天氣預報
- 封閉健身減肥
- 放蕩老師小說合集
- 封神演義每回概括
- 非誠勿擾播出時間表
- 法國ds汽車報價
- 福建師范大學教育學院
- 粉紅女和女粉紅 繞口令
- 凡人修仙傳混沌篇免費閱讀
- 風箏的詩詞有哪些
- 芙蓉樓送辛漸 的意思是
- 風水大宗師免費小說收聽
- 風扇英語單詞
- 高中考英語改錯技巧
- 廣東2018英語中考作文
- 貴陽英語中考如何復習
- 甘肅聚焦中考英語2017
- 高中考試英語提升
- 廣東中考英語模擬 文庫
- 廣東中考 高分突破英語
- 廣東中考英語聽說總分
- 貴陽市 英語 中考
- 廣西中考分數(shù)英語
- 廣西貴港中考英語2019
- 桂林中考英語分級
- 廣安中考英語試卷2021
- 廣州2017英語中考卷
- 廣州各區(qū)中考英語卷
- 貴陽英語中考考多久
- 甘肅平川中考英語作文
- 各地中考2023英語
- 關于英語端午中考作文
- 廣州初中中考英語聽說
- 廣東中考作文英語范文
- 廣東中考英語時間多少
- 貴州中考省考英語
- 廣州英語中考定語從句
- 桂林2017年英語中考
- 廣州中考2017英語作文
- 廣州中考英語作文諺語
- 鼓勵中考句子英語作文
- 關于中考的英語作業(yè)
- 廣東中考英語復習指導
- 好聽的老歌曲大全100首歌名
- 河北音樂廣播1024在線收聽
- 紅色歌曲100首
- 韓版花樣男子全部歌曲下載地址
- 黃梅戲歌曲大全100首
- 懷集音樂之聲網(wǎng)絡電臺在線收聽
- how you like that音樂免費下載
- 海來阿木全部歌曲免費下載
- 紅塵相愛伴奏山歌
- 海戀伴奏f調(diào)下載
- 紅花會貝貝全部歌曲鏈接
- 黑鴨子經(jīng)典歌曲500首
- 黃家駒經(jīng)典歌曲大全下載
- 黑道風云歌曲在線聽
- 好聽的dj歌曲軟件
- 何日君再來,伴奏
- 海底音樂免費下載
- 回到你面前伴奏下載
- 紅色彼岸花歌曲下載
- 好聽歌曲大全100首連續(xù)唱
- 后聲音樂舊版本下載
- 黃曉君歌曲大全
- 歡快歌曲大全100首
- 河北音樂廣播今天中午播的歌
- 還是一個人好歌曲
- 紅塵情歌曲原唱
- 海量歌曲在線試聽
- 好收成合唱伴奏
- 洪卓立
- 婚宴歌曲大全100首
- 雞蛋哥哥兒童故事
- 簡短幽默兒童故事大全
- 江蘇專升本要過英語四級
- 江陰哪里有學少兒英語
- 景甜發(fā)型兒童故事
- 九年級下冊英語第十四單元3a知識點
- 劍橋少兒英語3怎么學
- 江蘇英語一年級人教版跟讀
- 九年級全一冊英語八單元3a續(xù)寫
- 劍橋少兒英語盾數(shù)說明
- 九年級全一冊英語第五單元3a短語
- 講兒童依戀的故事
- 劍橋少兒英語考試 邯鄲
- 劍橋少兒英語考試鄭州
- 就業(yè)英語四級
- 劍橋國際少兒英語1內(nèi)容
- 江蘇一年級樂考英語
- 劍橋少兒英語第17集
- 金瑞亨環(huán)球少兒英語
- 江蘇二年級英語聽力教輔
- 冀教版英語二年級兒歌
- 劍橋少兒英語預備級冊
- 冀教版七年級英語下冊Lesson 3句型
- 劍橋國際少兒英語5單元
- 濟南高新區(qū) 少兒英語
- 劍橋國際少兒英語2詞
- 季節(jié)少兒英語對話怎么寫
- 劍橋少兒英語4冊詞匯
- 涇陽縣一年級英語
- 精彩故事兒童食譜
- 孔二狗東北往事20年有聲小說
- 抗日之軍工為王有聲小說
- 卡徒小說有聲版
- 空間農(nóng)女家中夫君猛如虎
- 考證必聽健康管理師有聲小說
- 孔子的故事有聲小說
- 抗戰(zhàn)最佳后勤有聲小說
- 恐龍小說有聲
- 快穿反派女配你有毒有聲書
- 曠世嬌子有聲小說
- 開局封號斗羅有聲小說
- 酷我斗破蒼穹有聲小說全集
- 凱文凱利有聲書
- 狂醫(yī)凰妃有聲書
- 可可小愛有聲小說第二季
- 酷我音樂里的有聲讀物在哪
- 狂婿陳鐵有聲書
- 昆侖小說有聲書
- 科幻懸疑無限流
- 恐怖鬼故事民間
- 開異界有聲小說
- 酷聽網(wǎng)有聲小說昆蟲記
- 空間穿越彪悍掌家農(nóng)女有聲小說
- 抗日之草根英雄有聲小說
- 坑爹兒子鬼醫(yī)娘子有聲小說
- 科學發(fā)明發(fā)現(xiàn)
- 坤寧有聲書免費聽
- 凱叔講故事有聲書出版大獎
- 課程錄音有聲小說
- 凱叔講故事紅樓夢
- 六年級英語去超市購物路線
- 六年級英語人教句子訓練
- 六年級下英語p16
- 六年級音樂歌曲改編英語
- 六年級下冊英語11課中文
- 六年級下提優(yōu)英語人教版
- 六年級英語作文朗讀帶翻譯
- 六年級英語上冊技巧和方法
- 六年級下冊英語河北版的
- 六年級的上冊英語第21
- 六年級下冊學霸英語軟件
- 六年級下冊英語2fun
- 六年級英語上冊m10
- 六年級英語背誦課文軟件
- 六年級英語成績下滑的檢討
- 六年級英語介紹自己的臥室
- 六年級英語怎么提高差生
- 六年級英語下冊62頁跟讀
- 魯教版英語六年級2022
- 六年級英語下冊聽跟讀軟件
- 六年級怎么翻譯英語課文
- 六年級英語單詞語錄
- 魯教六年級英語音標
- 六年級下英語作文簡單范文
- 六年級上冊英語模塊9單詞
- 六年級英語下冊 第18頁
- 六年級練習英語聽力音頻
- 六年級下冊英語下冊譯林
- 六年級下冊英語筆記語法歸納
- 六年級牛津版下冊英語跟讀
- mydiary英語作文4句六年級
- 米小圈公園嗎
- 米小圈10集
- 名師同步課堂六年級上冊英語
- 米小圈道具衣服
- 米小圈口算課
- m7八年級上英語
- 米小圈的類型
- 夢想篇初三作文英語
- 米小圈帥氣屏障
- myhero英語作文帶翻譯初二
- 米小圈和豹子
- 米小圈古詩秋夜
- 米小圈老婆懷孕
- 米小圈的類別
- 米小圈鋼槍記
- mybedroom英語作文六年級用上負數(shù)
- 米小圈潘多美
- 貓成長英語日記六年級下冊
- 描寫人物的英語作文六年級
- 米小圈大拉鏈
- 名師測控六年級上冊英語JQ
- 描寫動物的英語作文六年級
- 忙碌的寒假英語日記六年級
- 米小圈下象棋
- 門的安全作文英語六年級
- 米小圈黑白格
- 米小圈帶病上課
- 米小圈變魔術
- 米小圈出塞古詩
- 挪威的森林有聲小說bgm
- 哪吒鬧海全集
- 娘親是個滿級大佬
- 拿破侖大傳有聲小說
- 女主重生看玉石的有聲小說
- 你好中校先生
- 你有聲書介紹作文
- 牛玉儒有聲小說
- 女人峪有聲書
- 女特警有聲小說
- 怒放有聲小說
- 農(nóng)家小神碗有聲書
- 女主重生文有聲小說
- 男性向有聲讀物
- 弄潮有聲音小說
- 逆藤有聲小說
- 農(nóng)家小福女免費閱讀有聲小說
- 南懷瑾講楞嚴經(jīng)有聲小說
- 女人原動力
- 農(nóng)村有聲小說李二狗
- 男同志小說
- 拿破侖希爾有聲小說
- 哪些平臺可以做有聲讀物
- 能不能把PDF轉(zhuǎn)換成有聲讀物
- 南懷瑾褝七有聲讀物
- 暖婚100天
- 念念不忘有聲書
- 農(nóng)門悍妻有聲小說柳子墨
- 南北朝時期有聲讀物
- 女強有聲小說推薦修仙
- 歐珠朗誦平臺
- 歐布奧特曼中文版國語
- Ocean family by Oscar
- 歐迪瑪
- 歐布奧特曼有什么
- 歐美圍棋介紹
- oracleDBA入門
- 偶爾想說話的七寶
- 歐洲神話
- 歐布奧特曼 下載
- 歐布奧特曼哦
- 歐布奧特曼2
- 歐布奧特曼凱
- 歐陽雨曼暑假作業(yè)
- 偶爾的小任性
- OLO賣出流程
- 歐布奧特曼所有形態(tài)
- 歐布奧特曼原生之初中文版
- ok配音網(wǎng)
- 歐布奧特曼的cp
- OT6
- 歐布奧特曼賽羅
- 歐布奧特曼疾風形態(tài)
- 歐詩漫護膚達人
- 歐布奧特曼歐布奧特曼
- 歐布奧特曼之原生之初中文版
- 歐布奧特曼銀河奧特曼
- OzCow純凈牛奶
- 偶遇民間二人轉(zhuǎn)
- oNfriDay
- 培新小學生英語采訪
- 瓶子英語小學生怎么讀
- 盤點小學生感人作文英語
- 盤點美麗小學生作文英語
- 朋友的英語作文小學生
- 盤點小學生學英語作文
- 拼音怎么學好英語小學生
- 平陽縣小學生英語
- 平和租房軟件英語小學生
- 培養(yǎng)小學生閱讀英語能力
- 盤點小學生搞笑讀英語
- 平板小學生英語學習軟件
- 攀登英語學習軟件小學生
- 培養(yǎng)小學生英語自主閱讀
- 聘請昆明小學生英語家教
- 披著小學生的外衣英語
- 平板學英語軟件小學生
- 培養(yǎng)小學生英語提問能力
- 培養(yǎng)小學生英語學習能力
- pep人教版小學生英語上冊
- 蘋果平板英語軟件小學生
- 平凡的小學生的英語
- 培養(yǎng)小學生英語興趣反思
- 盤點小學生的口號英語
- 陪小學生學好英語作文
- 平板怎樣學習英語小學生
- 平谷區(qū)小學生英語
- 培養(yǎng)小學生閱讀英語興趣
- 派大星講英語小學生
- 培養(yǎng)小學生學英語目的
- 汽車音響大全
- 全部歌曲免費下載
- 七王爺?shù)男“敌l(wèi) 則予
- 曲藝種類有哪些
- 前元音的單詞
- 七歲兒童故事在線聽
- 汽車機油燈
- 清穿貴妃榮寵記 予之微
- 汽車養(yǎng)護產(chǎn)品
- 槍聲背景音樂
- 喬清秀河南墜子
- 邱勇
- 全能棄少陳風免費閱讀
- 汽車噴漆怎么調(diào)漆
- 七年級英語筆記上冊
- 強勢鎖婚傅少的啞巴妻
- 七夕這首詩的拼音版
- 清風莫晚
- 全球高武在線聽書免費
- 全家人互愛共樂的日子
- 青龍?zhí)堵糜物L景區(qū)
- 七的乘法口訣
- 秦始皇 驪山
- 七歲兒童的謎語
- 奇門遁甲 起局
- 沁園春長沙原文
- 青銅器二龍戲珠
- 秦四大名將
- 清平樂村居古詩朗誦
- 情侶古詩詞
- 如何學好英語初三學生
- 人教版英語八年級下冊54頁2b翻譯
- 人教版初一英語學前教育
- 人教版初二英語知識點匯總
- 榮德基初二英語聽力
- 人教版上冊英語六年級
- 如何消耗初中生精力呢英語
- 仁愛版初二英語詞匯
- 人教版英語六年級合集
- 人教版六年級英語軟件
- 人教版六年級英語模擬
- 人教版英語初二上冊作文范文
- 如何快速考好英語考試
- 人教版初一英語的重難點
- 仁愛初三英語的單詞
- 日記用英語六年級
- 人教版初三英語單詞下
- 仁愛初一英語作文范文
- 如何預習英語六年級
- 如何提升初一英語水平
- 人教版3年級英語字母對照表
- 人教版英語六年級 閱讀
- 如何拿捏初中英語閱讀
- reading英語作文六年級
- 人教版六年級英語月考
- 人教英語3年級y的寫法
- 人教版初三英語課文改編
- 人教版六年級英語單選
- 人教版初一英語講什么
- 人教版八年級上英語unit2優(yōu)質(zhì)課
- 說中國女足的相聲
- 沙漠相聲大全
- 手握快板
- 適合元旦的快板一個人
- 三人相聲劇本簡單點
- 三國演義評書155
- 適合女的說的相聲
- 說唱二人轉(zhuǎn)全集孫小寶
- 陜西相聲貫口
- 散打評書表演
- 蘇州長篇彈詞匯編下
- 陜北說書光棍哭妻
- 蘇州評彈評話后包公
- 聲相聲相區(qū)別
- 說相聲為了啥
- 說相聲的老男演員
- 陜北說書賣婆姨3免費
- 尚九熙泰國相聲
- 上音五級快板鋼琴譜
- 說的一口好相聲
- 孫小寶京東大鼓詞
- 孫濤尤憲超相聲完整版
- 山東琴書楊廣游湖
- 什么樣的相聲填空
- 說相聲的侯爺是誰
- 刷子李天津快板
- 孫大圣評書世界
- 說書孟子辰
- 手快板速版
- 蘇州評彈名段演唱會
- 通泰小學三年級下冊英語
- 太原三年級期末英語考試
- 天津人教版英語三年級下冊
- 聽讀三年級英語上冊單詞
- 同步英語三年級下冊28頁
- 甜作文范文小學三年級英語
- 天貓精靈三年級英語下冊
- 太原三年級英語上冊牛津音頻
- 提升英語的方法三年級下
- 途途三年級英語試聽課
- 聽三年級英語朗讀上冊
- 推薦英語片子怎么寫三年級
- 天津英語三年級下冊全解
- 天天老師三年級英語68頁
- 同步聽讀訓練三年級英語
- 聽力訓練小學英語三年級下冊
- 同步英語三年級上冊17頁
- 太原市公立三年級英語
- 提高三年級英語成績措施
- 太原市三年級英語統(tǒng)考
- 童年的句子訓練三年級英語
- 天安門三年級英語介紹
- 天津小學三年級英語20課
- 天津?qū)S眯W三年級上冊英語
- 提高三年級的英語成績
- 特色作業(yè)英語三年級上冊畫
- 天英老師三年級下冊英語
- 臺山三年級英語第1課
- 天津精通版三年級英語下冊
- 兔子怎么讀英語三年級上冊
- 萬古劍黃有聲小說
- 位面成神之虛空戒免費有聲小說
- 王的女人有聲小說海洋聽書全
- 問境有聲小說
- 我真沒想重生啊有聲書
- 我的狐仙老婆有聲讀物
- 我的世界地下城
- 萬光旭特大殺人案紀實有聲小說
- 無限電影世界有聲小說
- 我想做有聲書需要做什么
- 王陽明知行合一
- 武神主宰有聲小說喜馬拉雅
- 王婿葉凡有聲小說有聲小說
- 我一直都愛你
- 我在七零混社會有聲小說
- 無方少年游有聲小說免費聽
- 我的老千生涯免費有聲小說雷鳴
- 五大賊王有聲小說免費聽周建龍
- 完美完美上有聲小說
- 我在末世有套房有聲書
- 我爸是首富有聲小說
- 紈绔皇帝有聲小說免費聽
- 我家后院是仙田有聲小說
- 萬圣龍師有聲小說在線收聽
- 武神天下有聲小說禹風
- 我的另一種人生有聲書
- 網(wǎng)易云音樂
- 偉人的童年有聲小說
- 網(wǎng)頁上的有聲小說如何
- 網(wǎng)絡上的有聲書配音
- 小說女主角壞
- 姓即墨校園小說
- 小說雪中悍刀行在線閱讀頂點
- 西方領主玄幻類小說
- 小說素未蒙面的未婚妻
- 小說艷陽天三冊價格
- 向往的生活肖戰(zhàn)小說
- 玄幻召喚師女強小說
- 小說床上鑰匙一樣
- 玄幻小說飛戶
- 現(xiàn)代勵志類小說推薦
- 小說健身引狼入室
- 仙魔志小說慕容宇
- 小說神級狂婿岳風
- 小說男主叫秦安逸
- 寫男主角一句征服女獸的玄幻小說
- 小說里玫瑰花粉過敏打噴嚏的章節(jié)
- 玄幻小說愛吃西紅柿
- 校園情愛小說短篇小說
- 小說人物陶景山
- 小說修真歸來在都市全文
- 系列型驚悚小說
- 小說出版資訊
- 小說女主人公叫秦
- 邪帝有關系的有聲小說
- 玄幻之無限靈石小說
- 玄幻神級掛小說免費閱讀
- 小說電梯總裁
- 小說作者雪山飛狐
- 小說十四歲
- 英語短語例句小學生簡單
- 英語演講家鄉(xiāng)小學生
- 用英語怎么讀小學生
- 英語朗誦小學生集體朗誦
- 英語小學生提前補課么
- 有道英語學習神器小學生
- 英語的短語大全小學生
- 優(yōu)秀小學生英語作業(yè)展示
- 幼兒園小學生英語
- 用英語介紹寧夏小學生
- 英語美文美句小學生
- 英語演講形式小學生
- 越南小學生怎么學英語
- 英語小學生好的建議
- 用英語描寫朔州小學生
- 有小學生聰明嗎英語
- 英語小學生夸獎的話語
- 英語軟件推薦兒童小學生
- 英語短句帶翻譯 小學生
- 英語小學生閱讀筆記短文
- 英雄故事演講小學生英語
- 以前小學生有英語嗎
- 英語經(jīng)典故事小學生
- 英語情景對話餐廳小學生
- 英語寫給小學生的詩歌
- 英語鼓勵話語小學生作文
- 英語學習小技巧小學生
- 義烏小學生英語哪些好
- 英語單詞聽寫小學生
- 英語詩10首小學生
- 最美的青春唱快板
- 張鶴倫郎鶴炎相聲名氣大了
- 這個快板一打呀
- 最新相聲大全搞笑的
- 張悅楷評書三國演義013
- 趙本山范偉的相聲完整版
- 張俊功說書刮大風詩
- 淄博相聲
- 鄭燕西河大鼓勸姑娘全集
- 臟囗二人轉(zhuǎn)
- 長篇評書趙匡胤后傳
- 綜藝節(jié)目李金斗的相聲
- 長篇方言評書孔二小姐7
- 朱元璋評書四十五回
- 主人給小牛穿二人轉(zhuǎn)棉襖
- 趙曉波單桂清二人轉(zhuǎn)杜十娘
- 贊美評書說的好的句子
- 肇東大舞臺阿夏二人轉(zhuǎn)
- 贊美青島快板詞
- 趙小軍小豆豆二人轉(zhuǎn)大全
- 重慶二人轉(zhuǎn)唐僧泡妞
- 中戲相聲
- 張志云唱李元霸大鼓
- 張明智大鼓天仙配
- 最逗笑的相聲合集
- 張浩唱二人轉(zhuǎn)四平警事
- 遵義文明城市快板
- 張鑒庭蘇州評彈
- 翟波二人轉(zhuǎn)完整版唱段
- 張九泰教劉筱亭快板