棱長為a的正四面體，內(nèi)切球半徑及外接球半徑大小

連接正四面體的各個三角形的中心，形成一個新的正四面體。容易證明，新正四面體的邊長為a/3.
我想，按這個思路做下去，大概是比較簡單的做法。
原來四面體的內(nèi)切圓是新四面體的外接圓。
所以外接圓半徑r是內(nèi)切圓半徑r的3倍。
r=3r,
作圖即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根號3)a/2]^2
=>r=a/(2根號6)
r=3a/(2根號6)

內(nèi)切球半徑為12分之根號6倍a;外接球半徑9分之根號6倍a
r=(√6/12)a
R=(√6/4)a

內(nèi)切球半徑為12分之根號6倍a；外接球半徑4分之根號6倍a。
正四面體外接球球心與內(nèi)切球球心是在同一點上，而這一點是四面體其中兩平面作垂線的交點O?？捎媒孛娣椒ㄇ蟪龃咕€長度h為三分之根號6倍a。然后把四面體看成由四個相等的小三棱錐（交點O出發(fā)向四面體的三個頂點引出三條線，把四面體分成四份，每份為一個小三棱錐）從所合成的。利用等體積法，四個小三棱錐的體積等于四面體的體積可很容易求出小三棱錐的高，三棱錐的高即內(nèi)切球半徑，h減去內(nèi)切球半徑即外接球半徑。

內(nèi)切球半徑r=(√6/12)a，外接球半徑R=(√6/4)a。
正四面體外接球球心與內(nèi)切球球心是在同一點上，而這一點是四面體其中兩平面作垂線的交點O?？捎媒孛娣椒ㄇ蟪龃咕€長度h為三分之根號6倍a。
然后把四面體看成由四個相等的小三棱錐（交點O出發(fā)向四面體的三個頂點引出三條線，把四面體分成四份，每份為一個小三棱錐）從所合成的。
利用等體積法，四個小三棱錐的體積等于四面體的體積可很容易求出小三棱錐的高，三棱錐的高即內(nèi)切球半徑，h減去內(nèi)切球半徑即外接球半徑。
擴展資料
正四面體的性質(zhì)：
1.正四面體的每一個面是正三角形，反之亦然。
2.正四面體是三組對棱都垂直的等面四面體。
3.正四面體是兩組對棱垂直的等面四面體。
4.正四面體的四個旁切球半徑均相等，等于內(nèi)切球半徑的2倍，或等于四面體高線的一半。
5.正四面體的內(nèi)切球與各側(cè)而的切點是側(cè)I面三角形的外心，或內(nèi)心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命題均成立。
6.正四面體的外接球球心到四面體四頂點的距離之和，小于空間中其他任一點到四頂點的距離之和。
7.正四面體內(nèi)任意一點到各側(cè)面的垂線長的和等于這四面體的高。