一道初中數(shù)學(xué)競賽題（關(guān)于最大值的代數(shù)題）

由題意可知，n個(gè)數(shù)中任意n-1個(gè)數(shù)之和都能被（n-1)整除，設(shè)前n-1項(xiàng)之和為k(n-1),即前(n-1)項(xiàng)平均數(shù)為k（k為整數(shù)）
即a1+a2+a3+...+a(n-1)=k(n-1)，這時(shí)假使把這個(gè)等式中的a(n-1)替換為an,因?yàn)閍n>a(n-1),所以平均數(shù)應(yīng)該變大，又因?yàn)槠骄鶖?shù)為整數(shù)，所以平均數(shù)至少增大1，即a1+a2+...+a（n-2）+an=(k+p)(n-1) p=1,2,3... 這兩個(gè)等式比較,不難看出an=a(n-1)+p(n-1) p=1,2,3...(注：因?yàn)檩斎氩惶奖?，上述等式中a(n-1)的括號表示第n-1項(xiàng)，后面的括號表示乘法，注意分辨），也就是說an至少比a(n-1)大 一倍的n-1 ,再把第二個(gè)式子中a(n-2)換為a(n-1),可以得到同樣結(jié)論，也就是a（n-1）至少比a(n-2)大 一倍的n-1。 依此類推最終得到an-a1至少為n-1倍的n-1 (即為了使數(shù)列項(xiàng)數(shù)最多，使數(shù)列更緊湊，每一項(xiàng)只比前一項(xiàng)大一倍的n-1,即p始終為1）所以在此種情況下an=a1+(n-1)*(n-1),即an=a1+(n-1)^2,因?yàn)閍n<2009所以，n最大為45，否則（n-1)^2就大于2009，所以n最大為45。

你可以代回去驗(yàn)證一下，設(shè)a1=1，則a2=45,a3=89...an=a45=1937,滿足題中條件的限制，說明n最大值為45