微積分七講

上冊有三講:極限、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)；下冊有四講:多元微分學(xué)、二重積分、微分方程、無窮級數(shù)。

第一講極限。

核心考點有三。

一、極限的定義及性質(zhì)。函數(shù)極限和數(shù)列極限定義學(xué)會數(shù)學(xué)翻譯，所有極限的成立，都是在取值范圍內(nèi)的；

掌握遞推法(高階到低階)；數(shù)學(xué)歸納法(從低階到高階)。

討論一個函數(shù)在定義域上的有界性；

二、重點是極限計算。十六字方針:化簡先行、判別類型、使用工具、注意事項。

化簡先行中等價無窮小替換中"抓大頭"，注意找“帶頭大哥”(多項加加減減，找最大的那項，把其他項都甩掉)；離鉛垂?jié)u近線走得越近的人其實跑無窮大越慢；恒等變形中數(shù)學(xué)上不喜歡金字塔，因其極其穩(wěn)定，頭重腳輕根蒂淺；

判別類型中只有7種未定式。0·∞型設(shè)置分母有原則，簡單分母才下放；∞-∞型沒有分母，創(chuàng)造分母。

使用工具中慎用洛必達，洛必達法則是求導(dǎo)的結(jié)果存在，原式才存在。帶著參數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果你不知道是幾。若洛必達失效，反思一下準(zhǔn)備工作有沒有做好(化簡)；在泰勒眼中所有函數(shù)都是冪函數(shù)，包括變上限積分函數(shù)。

注意事項是指總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)。

含參數(shù)的極限綜合題加強訓(xùn)練。

數(shù)列極限計算:歸結(jié)原則、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則(注意數(shù)學(xué)歸納法)。

三、極限的應(yīng)用——連續(xù)與間斷。

第二、三講 一元函數(shù)微積分學(xué)。

核心考點有四。

一、定義:導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、變限積分、反常積分。

原函數(shù)存在定理:看一個函數(shù)是否有不定積分，盯著"連續(xù)與間斷"；

函數(shù)可積:看一個函數(shù)是否有定積分，盯著函數(shù)在有限區(qū)間上有界且只有有限個間斷點；

根據(jù)被積函數(shù)圖像畫變限積分函數(shù)的圖像，后者斜率是前者的值，后者函數(shù)值對應(yīng)前者上面的面積。

函數(shù)的奇偶性、周期性、有界性(證誰有界，給誰加絕對值；證有界，最后結(jié)果都是常數(shù)，不能有變量)。

定積分精確定義。

變限積分屬于定積分范疇，實質(zhì)上是取決于x的一個動的面積；變限積分求導(dǎo)公式使用前提:被積函數(shù)中只含積分變量，不含求導(dǎo)變量。

反常積分是定積分之拓展，分為無窮區(qū)間上的反常積分和無界函數(shù)的反常積分；判斷反常積分的關(guān)鍵:看奇點；判斷反常積分是否收斂關(guān)鍵:看曲線和直線的接近程度(離水平漸進線越近，趨向于0的速度越快；離鉛垂?jié)u進線越遠，跑無窮大的速度越快)，P積分必考無疑。

二、計算。

1、積分。

基本積分公式:三角函數(shù)10個、分母開方的4個、分母不開方的4個。(對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)視絕對值而不見)

步驟:普京抓主要矛盾求導(dǎo)湊微分；若湊微分失效，針對復(fù)雜部分作換元處理，先考慮微觀換元法；舉重若輕，宏觀換元法。

華里式公式(點火公式)證明；一個題目結(jié)合區(qū)間再現(xiàn)公式、換元、點火(華里士)公式。

2、求導(dǎo)。

一般題:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、反函數(shù)求導(dǎo)、對數(shù)求導(dǎo)法、分段函數(shù)求導(dǎo)；

高階題:泰勒和麥克勞林、萊布妮子(考得少)。

三、應(yīng)用。

1、幾何應(yīng)用。

①導(dǎo)數(shù)性態(tài)——三點兩性一線:極值點與單調(diào)性、拐點與凹凸性、漸進線、最值點。

極值點和拐點的判別法一都是看一個點的左右兩邊導(dǎo)數(shù)符號，判別法二都是盯著一個點看，判別法二要會證明；(求拐點注意抓主要矛盾)

漸近線求解程序有三，其中第一點求定義域是關(guān)鍵，后兩步關(guān)鍵是極限計算!

求一元函數(shù)最值——閉區(qū)間上比較駐點、不可導(dǎo)點、端點函數(shù)值；開區(qū)間上不能取端點取極限值。最后比較時涉及到函數(shù)計算，如計算三角函數(shù)值，注意看圖說話，如背過正弦函數(shù)在【0，π】上的四等分面積。

②積分(測度)

平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平均值。

難點在于計算，任何一道編好的考研題，都有能力把圖像畫出來(導(dǎo)數(shù)性態(tài))。

四、邏輯(證明)

中值定理、不等式證明、方程根(等式證明)

第四講 多元函數(shù)微分學(xué)

核心考點有三。

一、概念5個

1、極限的存在性:兩個定義；三種方法:等價無窮小替換、無窮小·有界=無窮小、夾逼準(zhǔn)則。

2、連續(xù)性

3、偏導(dǎo)數(shù)存在性

4、可微

5、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

二、計算-微分法

三、應(yīng)用-極值與最值:無條件極值與點兒塔法；條件最值與拉格朗日乘數(shù)法。

對計算二元函數(shù)的極限和全微分有了更深刻的認(rèn)識和掌握，拉格朗日乘數(shù)法關(guān)鍵是計算。

第五講 二重積分

核心考點有三。

一、概念與對稱性。二重積分看作是一個個薯條組成的大面包；對稱性分普通對稱性與輪換對稱性，輪換對稱性只是"積分值與字母無關(guān)"的特例、巧合。

二、計算。

1、基礎(chǔ)題。直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系

2、技術(shù)題。換序、對稱性、形心公式的逆用。

三、綜合題。

第六講? 微分方程

核心考點有三。按類求解，對號入座。

一、一階方程:可分離變量型、齊次型、一階線性型、可降階

求解中出現(xiàn)對數(shù)，其真數(shù)要帶絕對值符號。

可降階微分方程通過換元變形成其他三種形式的微分方程，尤其是轉(zhuǎn)化成一階線性型再求解。

二、高階方程:二階常系數(shù)齊次線性方程、非齊次

對于高階方程除了會正向求解外，要掌握已知特解反求方程(逆向思維)。

三、應(yīng)用題。

背景公平；翻譯成數(shù)學(xué)表達式。

另今天接觸到牛頓-萊布尼茨公式的逆用:將一個數(shù)寫成定積分的形式，這種逆向思想令人感到驚艷。

第七講 無窮級數(shù)

核心考點有三。

一、數(shù)項級數(shù)的判斂。

1、概念(本質(zhì)):無窮級數(shù)本質(zhì)是研究通項在n趨于無窮大時趨于0的速度，對比無窮區(qū)間上反常積分收斂時高"無窮小的程度"；

2、分類:(常)數(shù)項級數(shù)-正項級數(shù)、交錯級數(shù)、任意項級數(shù)

函數(shù)項級數(shù)-冪級數(shù)

3、數(shù)項級數(shù)的判斂

①正項級數(shù)的判斂:

收斂原則，抽象級數(shù)判斂，寫其前n項和，證其有界 ，難的是放縮法；

正項級數(shù)比較判別法；

比較判別法的極限形式和P級數(shù)是重點；P級數(shù)和1到無窮大區(qū)間上的P積分對比，一個是離散累加，一個是連續(xù)累加。

比值判別法；

根值判別法。

②交錯級數(shù)的判斂:萊布尼茨判別法；

③任意項級數(shù)判絕對收斂；

連續(xù)放縮的遞推法。

二、冪級數(shù)的收斂域。

三、展開與求和。

1、冪級數(shù)展開分為直接展開(照著6個公式套)和間接展開(先變形)。

2、先導(dǎo)后積的推導(dǎo)。

求和函數(shù)先導(dǎo)后積中有嵌套的先導(dǎo)后積，注意換字母以區(qū)分各變量；具體求結(jié)果時便是硬基礎(chǔ)——定積分的計算(時刻注意對數(shù)的真數(shù)為正)；

冪級數(shù)的展開與求和各重做一道錯題。發(fā)現(xiàn)還是出錯。每次自己獨立動腦做題都會發(fā)現(xiàn)意外驚喜——新錯誤。只有自己動筆做而非直接聽或看答案，才能真正理解題目的內(nèi)涵。做過很多遍的題，看起來簡單，但還會出錯說明要腳踏實地，不能眼高手低。踏踏實實砌好每一塊磚。學(xué)一個知識點就是學(xué)成千上萬個知識。

高數(shù)下冊微分方程及無窮級數(shù)是上冊極限與微積分的具體運用，計算過程處處跟上冊有密切聯(lián)系。一些題目只是套上級數(shù)的外衣。