熱傳導(dǎo)方程式的解熱方程

在理想狀態(tài)下一根棍子的熱傳導(dǎo)，配上均勻的邊界條件。
方程式如下：
其中u=u(t,x) 是t和x的雙變量函數(shù)。
x是空間變量，所以x∈ [0,L]，其中L表示棍子長度。t是時間變量，所以t≥ 0。 假設(shè)下述初始條件
其中函數(shù)f是給定的。再配合下述邊界條件
讓我們試著找一個非恒等于零的解，使之滿足邊界條件 (3) 并具備以下形式：
這套技術(shù)稱作分離變量法?，F(xiàn)在將u代回方程式 (1)，
由于等式右邊只依賴x，而左邊只依賴t，兩邊都等于某個常數(shù) ? λ，于是：
以下將證明 (6) 沒有 λ ≤ 0 的解：
假設(shè) λ < 0，則存在實數(shù)B、C使得 從 (3) 得到 于是有B= 0 =C，這蘊含u恒等于零。 假設(shè) λ = 0，則存在實數(shù)B、C使得 仿上述辦法可從等式 (3) 推出u恒等于零。 因此必然有 λ > 0，此時存在實數(shù)A、B、C使得 從等式 (3) 可知C= 0，因此存在正整數(shù)n使得 由此得到熱方程形如 (4) 的解。
一般而言，滿足 (1) 與 (3) 的解相加后仍是滿足 (1) 與 (3) 的解。事實上可以證明滿足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式給出。