正四面體外接圓半徑公式是什么？

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,求其外接球的半徑.
設(shè)正四面體V-ABC,D為BC的中點(diǎn),E為面ABC的中心,外接球半徑為R,
則AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.
在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3.
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R)?^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R]?^2,
可解得：R=（√6）a/4.
另外,我們也可以先求出OE,因?yàn)镺E恰好是四面體的內(nèi)切球的半徑r,利用等積法可求得r.
設(shè)四面體的底面積為S,則1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2?=?AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,從而得R=（√6）a/4.