求n的n次方分之n的階乘的極限

xn=(n!/n^n)^(1/n)。

兩邊取對(duì)數(shù)，

lnxn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))。

上式可看成f(x)=lnx。

在[0，1]上的一個(gè)積分和。即對(duì)[0，1]。

區(qū)間作n等分，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)1/n。

因此當(dāng)n趨于無窮時(shí)，lnxn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定積分。

lnx在[0，1]上的定積分為-1。

所以lnxn在n趨于無窮時(shí)的極限為-1。

由于xn=e^(lnxn)。

于是xn在n趨于無窮時(shí)的極限值為1/e。

對(duì)定義的理解：

因?yàn)棣攀侨我庑〉恼龜?shù)，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正數(shù)范圍，因此可用它們的數(shù)值近似代替ε。同時(shí)，正由于ε是任意小的正數(shù)，我們可以限定ε小于一個(gè)某一個(gè)確定的正數(shù)。

N的相應(yīng)性　一般來說，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強(qiáng)調(diào)N對(duì)ε的變化而變化的依賴性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。