當(dāng)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),對(duì)干擾是如何理解于判斷的～?

國(guó)數(shù)學(xué)家和力學(xué)家A.M.李雅普諾夫在1892年所創(chuàng)立的用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論。對(duì)于控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性是需要研究的一個(gè)基本問(wèn)題。在研究線性定常系統(tǒng)時(shí)，已有許多判據(jù)如代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等可用來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論能同時(shí)適用于分析線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是更為一般的穩(wěn)定性分析方法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論主要指李雅普諾夫第二方法，又稱(chēng)李雅普諾夫直接法。李雅普諾夫第二方法可用于任意階的系統(tǒng)，運(yùn)用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。對(duì)非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的求解常常是很困難的，因此李雅普諾夫第二方法就顯示出很大的優(yōu)越性。與第二方法相對(duì)應(yīng)的是李雅普諾夫第一方法，又稱(chēng)李雅普諾夫間接法，它是通過(guò)研究非線性系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程的特征值的分布來(lái)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的。第一方法的影響遠(yuǎn)不及第二方法。在現(xiàn)代控制理論中，李雅普諾夫第二方法是研究穩(wěn)定性的主要方法，既是研究控制系統(tǒng)理論問(wèn)題的一種基本工具，又是分析具體控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種常用方法。李雅普諾夫第二方法的局限性，是運(yùn)用時(shí)需要有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和技巧，而且所給出的結(jié)論只是系統(tǒng)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定的充分條件；但在用其他方法無(wú)效時(shí)，這種方法還能解決一些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。 　　發(fā)展概況 　從19世紀(jì)末以來(lái)，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論一直指導(dǎo)著關(guān)于穩(wěn)定性的研究和應(yīng)用。不少學(xué)者遵循李雅普諾夫所開(kāi)辟的研究路線對(duì)第二方法作了一些新的發(fā)展。一方面，李雅普諾夫第二方法被推廣到研究一般系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例如，1957年，В．И．祖博夫?qū)⒗钛牌罩Z夫方法用于研究度量空間中不變集合的穩(wěn)定性。隨后，J.P.拉薩爾等又對(duì)各種形式抽象系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。在這些研究中，系統(tǒng)的描述不限于微分方程或差分方程，運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)已采用不變集合表示，李雅普諾夫函數(shù)是在更一般意義下定義的。1967年，D.布肖對(duì)表征在集合與映射水平上的系統(tǒng)建立了李雅普諾夫第二方法。這時(shí)，李雅普諾夫函數(shù)已不在實(shí)數(shù)域上取值，而是在有序定義的半格上取值。另一方面，李雅普諾夫第二方法被用于研究大系統(tǒng)或多級(jí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時(shí)，李雅普諾夫函數(shù)被推廣為向量形式，稱(chēng)為向量李雅普諾夫函數(shù)。用這種方法可建立大系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。 　　系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)和平衡狀態(tài) 　穩(wěn)定性問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是考察系統(tǒng)由初始狀態(tài)擾動(dòng)引起的受擾運(yùn)動(dòng)能否趨近或返回到原平衡狀態(tài)。用x0表示初始狀態(tài)擾動(dòng)，則受擾運(yùn)動(dòng)就是系統(tǒng)狀態(tài)方程 凧＝f(x，t)在初始時(shí)刻 t0時(shí)受到狀態(tài)擾動(dòng)x(t0)＝x0后的解。其中x是n維狀態(tài)向量,f(x，t)是以x和時(shí)間t為自變量的一個(gè)n維非線性向量函數(shù)。在滿足一定條件時(shí)，這個(gè)狀態(tài)方程有惟一解。系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間 t而變化的，而其變化又與初始擾動(dòng) x0和作用時(shí)刻t0有直接的關(guān)系，數(shù)學(xué)上表示為依賴(lài)于這些量的一個(gè)向量函數(shù)，記為φ（t； x0，t0）。在以狀態(tài)x的分量為坐標(biāo)軸構(gòu)成的狀態(tài)空間中，隨著時(shí)間t增加，受擾運(yùn)動(dòng)φ(t； x0，t0)表現(xiàn)為從 x0點(diǎn)出發(fā)的一條軌線。平衡狀態(tài)是系統(tǒng)處于相對(duì)靜止時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用xe表示，其特點(diǎn)是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)恒等于零，可由求解函數(shù)方程f(xe，t)＝0來(lái)定出。為便于表示和分析,常把平衡點(diǎn)xe規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，這可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此李雅普諾夫第二方法可歸結(jié)為研究受擾運(yùn)動(dòng)軌線相對(duì)于狀態(tài)空間原點(diǎn)的穩(wěn)定性。 　　李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 　指對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。主要涉及穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定。 　?、俜€(wěn)定　用 S(ε)表示狀態(tài)空間中以原點(diǎn)為球心以ε為半徑的一個(gè)球域，S(δ)表示另一個(gè)半徑為 δ的球域。如果對(duì)于任意選定的每一個(gè)域S(ε),必然存在相應(yīng)的一個(gè)域S(δ)，其中δ＜ε，使得在所考慮的整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，從域 S(δ)內(nèi)任一點(diǎn) x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)φ(t；x0，t0)的軌線都不越出域S(ε)，那么稱(chēng)原點(diǎn)平衡狀態(tài) xe＝0是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的?！　、跐u近穩(wěn)定　如果原點(diǎn)平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的,而且在時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)受擾運(yùn)動(dòng)φ(t；x0，t0)收斂到平衡狀態(tài)xe=0,則稱(chēng)系統(tǒng)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。從實(shí)用觀點(diǎn)看，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定重要。在應(yīng)用中，確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍是十分必要的，它能決定受擾運(yùn)動(dòng)為漸近穩(wěn)定前提下初始擾動(dòng)x0的最大允許范圍。 　?、鄞蠓秶鷿u近穩(wěn)定　又稱(chēng)全局漸近穩(wěn)定，是指當(dāng)狀態(tài)空間中的一切非零點(diǎn)取為初始擾動(dòng)x0時(shí)，受擾運(yùn)動(dòng)φ(t；x0，t0)都為漸近穩(wěn)定的一種情況。在控制工程中總是希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。系統(tǒng)為全局漸近穩(wěn)定的必要條件是它在狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。 　?、懿环€(wěn)定　如果存在一個(gè)選定的球域S(ε)，不管把域S(δ)的半徑取得多么小，在S(δ)內(nèi)總存在至少一個(gè)點(diǎn)x0，使由這一狀態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)軌線脫離域 S(ε),則稱(chēng)系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe＝0是不穩(wěn)定的