數(shù)學(xué)競(jìng)賽

令t=sinx, |t|<=1
則f(x)=t+√(1+1-t2)=t+√(2-t2)
因?yàn)椤?2-t2)>=1>=|t|, 故f>=0
則f2=t2+2t√(2-t2)+2-t2=2+2t√(2-t2)
當(dāng)t>=0時(shí)，f2=2+2√(2t2-t^4)=2+2√[1-(t2-1)2]
當(dāng)t=1時(shí)，f2取最大2+2√1=4，此時(shí)f最大為2
當(dāng)t=0時(shí)，f2取最小2+0=2， 此時(shí)f最小為√2
當(dāng)t<=0時(shí)，f2=2-2√(2t2-t^4)=2-2√[1-(t2-1)2]
當(dāng)t=-1時(shí)，f2取最小2-2=0， 此時(shí)f最小為0
當(dāng)t=0時(shí)，f2取最大2-0=2,此時(shí)f最大為√2
綜合得f(x)的取值范圍是：[0, 2]