關(guān)于植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)故事

概述:沿著某一條道路等距離植樹(shù),這時(shí)路長(zhǎng)、樹(shù)的棵數(shù)和每?jī)煽脴?shù)間的距離這三個(gè)數(shù)之間有一定的關(guān)系,只要知道其中任意兩個(gè)數(shù),就可以算出第三個(gè)數(shù)。這類問(wèn)題稱為植樹(shù)問(wèn)題。線上的植樹(shù)問(wèn)題有兩種情況:



(1)道路是直線。這時(shí)如下圖所示,植樹(shù)10棵,間隔為9個(gè),間隔數(shù)比棵數(shù)少1個(gè)。



棵數(shù)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



一 二 三 四 五 六 七 八 九



間隔數(shù)



一般的情況也是如此,因此



棵數(shù)=間隔數(shù)+1,間隔數(shù)=棵樹(shù)-1。不計(jì)算樹(shù)的粗細(xì),各間隔的總和應(yīng)等于路長(zhǎng)。所以每個(gè)間隔的長(zhǎng)=路長(zhǎng)÷間隔數(shù),



棵樹(shù)=路長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)+1



路長(zhǎng)=每個(gè)間隔長(zhǎng)×間隔數(shù)



=每個(gè)間隔長(zhǎng)×(棵樹(shù)-1)



當(dāng)?shù)缆肥乔€或折線時(shí),只要它不是封閉的(即首尾懷相接),那么上面的公式就仍然適用。



(2)道路是封閉的圓圈。這時(shí)如下圖所示,樹(shù)的棵樹(shù)與其間隔數(shù)相等(圖中植樹(shù)的棵樹(shù)為8,間隔數(shù)也為8)。因此



2 3



1



4



5



6



7



8

















路長(zhǎng)=每個(gè)間隔長(zhǎng)×間隔數(shù)



=每個(gè)間隔長(zhǎng)×棵樹(shù)



每個(gè)間隔的長(zhǎng)=路長(zhǎng)÷間隔數(shù),



=路長(zhǎng)÷棵數(shù)



棵樹(shù)=路長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)



例、一條道路長(zhǎng)100米,兩邊都要植樹(shù),從頭到尾每4米植樹(shù)一棵,共植樹(shù)多少棵?



解:設(shè)想從道路的一端向另一端走去,每走完4米栽樹(shù)一棵,則共栽樹(shù)



100÷4=25(棵)。顯然,根據(jù)題意,還需要在起點(diǎn)再補(bǔ)栽樹(shù)一棵?？紤]到兩邊都栽樹(shù),因此,要栽的樹(shù)是



(25+1)×2=52(棵)



綜合算式:(100÷4+1)×2=52(棵)



從此例可以看出:解這類問(wèn)題的關(guān)健是要注意起端的一棵。如果道路是環(huán)形的,那么就不存在端點(diǎn)問(wèn)題,因此也就無(wú)需加1了。



練習(xí):1、在窗框里裝鐵鋼筋,20厘米裝1根,剛好可裝5根;若要等距離的裝7根鐵鋼筋,那么要多少厘米裝1根?(15厘米)



2、把49厘米長(zhǎng)的鋼筋鋸成相等的6段,若鋸路的損耗是2毫米,那么每段鋼筋的長(zhǎng)度是多少厘米?(8厘米)



3、有52輛彩車排成一列,每輛彩車排成一列,每輛彩車長(zhǎng)4米,彩車之間相隔5米,這列彩車共條多少米?(463米)



4、一圓湖的周長(zhǎng)是8000米,湖邊每16米植有柳樹(shù)一棵,在相鄰的兩棵柳樹(shù)之間,又等距離地種了3棵桃樹(shù),以便在春天來(lái)臨時(shí)呈現(xiàn)桃紅柳綠的美景。問(wèn)共有多少棵柳樹(shù)?多少棵桃樹(shù)?相鄰兩棵柳樹(shù)之間,桃樹(shù)的間距是多少米?(柳樹(shù)500棵,桃樹(shù)1500棵,桃樹(shù)的間距是4米)