引子（3） 九章算術(shù)

九章算術(shù)

三二〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？ 答曰：十一畝九十步、十二分步之一。 術(shù)曰：半周半徑相乘得積步。 又術(shù)曰：周徑相乘，四而一。 又術(shù)曰：徑自相乘，三之，四而一。 又術(shù)曰：周自相乘，十二而一。 〔三三〕今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？ 答曰：一百二十步。 〔三四〕又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？ 答曰：五畝六十二步、四分步之一。 術(shù)曰：以徑乘周，四而一。 〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？ 答曰：一畝九十七步半。 〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？ 答曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。 術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 〔三七〕今有環(huán)田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？ 答曰：二畝五十五步。 〔三八〕又有環(huán)田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。問為田幾何？ 答曰：四畝一百五十六步、四分步之一。 術(shù)曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。 密率術(shù)曰：置中外周步數(shù)，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內(nèi)分子。以中周減外周，余半之，以益中周。徑亦通分內(nèi)子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，余積步之分。以畝法除之，即畝數(shù)也。

九章算術(shù)

○方田（以御田疇界域） 今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。 又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。 〔圖：從十四，廣十二?！? 方田 術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步。 〔此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。 淳風(fēng)等按：經(jīng)云廣從相乘得積步，注云廣從相乘謂之冪。觀斯注意，積冪義 同。以理推之，固當(dāng)不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃眾數(shù)聚居之稱。循名 責(zé)實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據(jù)廣從之一方；其言積者 舉眾步之都數(shù)。經(jīng)云相乘得積步，即是都數(shù)之明文。注云謂之為冪，全乖積步之 本意。此注前云積為田冪，于理得通。復(fù)云謂之為冪，繁而不當(dāng)。今者注釋，存 善去非，略為料簡，遺諸后學(xué)?！? 以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一頃。 〔淳風(fēng)等按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。余術(shù)不復(fù)言者，從此可知。一 畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而 截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方， 凡有二百四十步。一畝之地，步數(shù)正同。以此言之，則廣從相乘得積步，驗矣。 二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得?！? 今有田廣一里，從一里。問為田幾何？答曰：三頃七十五畝。 又有田廣二里，從三里。問為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。 里田 術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。 〔按：此術(shù)廣從里數(shù)相乘得積里。方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即 得畝數(shù)也?！? 今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。 又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。 ○約分 〔按：約分者，物之?dāng)?shù)量，不可悉全，必以分言之；分之為數(shù)，繁則難用。 設(shè)有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則 異辭，至于為數(shù)，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故為術(shù)者先治諸分?！? 術(shù)曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損， 求其等也。以等數(shù)約之。 〔等數(shù)約之，即除也。其所以相減者，皆等數(shù)之重疊，故以等數(shù)約之?！? 今有三分之一，五分之二，問合之得幾何？答曰：十五分之十一。 又有三分之二，七分之四，九分之五，問合之得幾何？答曰：得一、六十三 分之五十。 又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問合之得幾何？答曰：得 二、六十分之四十三。 ○合分 〔淳風(fēng)等按：合分知，數(shù)非一端，分無定準(zhǔn)，諸分子雜互，群母參差。粗細 既殊，理難從一，故齊其眾分，同其群母，令可相并，故曰合分?！? 術(shù)曰：母互乘子，并以為實。母相乘為法。 〔母互乘子。約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細。雖則粗細有殊， 然其實一也。眾分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母 互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊， 勢不可失本數(shù)也。方以類聚，物以群分。數(shù)同類者無遠；數(shù)異類者無近。遠而通 體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則齊同之術(shù)要矣：錯 綜度數(shù)，動之斯諧，其猶佩觿解結(jié)，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同 以通之，此其算之綱紀(jì)乎？其一術(shù)者，可令母除為率，率乘子為齊。〕 實如法而一。不滿法者，以法命之。 〔今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其余以等數(shù)約之，即得 知，所謂同法為母，實余為子，皆從此例?！? 其母同者，直相從之。 今有九分之八，減其五分之一，問余幾何？答曰：四十五分之三十一。 又有四分之三，減其三分之一，問余幾何？答曰：十二分之五。 ○減分 〔淳風(fēng)等按：諸分子、母數(shù)各不同，以少減多，欲知余幾，減余為實，故曰 減分?！? 術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實。母相乘為法。實如法而一。 〔母互乘子知，以齊其子也。以少減多知，齊故可相減也。母相乘為法者， 同其母也。母同子齊，故如母而一，即得?！? 今有八分之五，二十五分之十六，問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十六 多，多二百分之三。 又有九分之八，七分之六，問孰多？多幾何？答曰：九分之八多，多六十三 分之二。 又有二十一分之八，五十分之十七，問孰多？多幾何？答曰：二十一分之八 多，多一千五十分之四十三。 ○課分 〔淳風(fēng)等按：分各異名，理不齊一，較其相近之?dāng)?shù)，故曰課分也。〕 術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實。母相乘為法。實如法而一，即相多也。 〔淳風(fēng)等按：此術(shù)母互乘子，以少分減多分，與減分義同；惟相多之?dāng)?shù)，意 與減分有異：減分知，求其余數(shù)有幾；課分知，以其余數(shù)相多也。〕 今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減 四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。 又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減 三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。 ○平分 〔淳風(fēng)等按：平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平 分也?！? 術(shù)曰：母互乘子， 〔齊其子也?！? 副并為平實。 〔淳風(fēng)等按：母互乘子，副并為平實知，定此平實主限，眾子所當(dāng)損益知， 限為平?！? 母相乘為法。 〔母相乘為法知，亦齊其子，又同其母?！? 以列數(shù)乘未并者各自為列實。亦以列數(shù)乘法。 〔此當(dāng)副置列數(shù)除平實，若然則重有分，故反以列數(shù)乘同齊。 淳風(fēng)等按：問云所平之分多少不定，或三或二，列位無常。平三知，置位三 重；平二知，置位二重。凡此之例，一準(zhǔn)平分不可豫定多少，故直云列數(shù)而已。〕 以平實減列實，余，約之為所減。并所減以益于少。以法命平實，各得其平。 今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？答曰：人得一錢二十一分錢之 四。 又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、四分錢之三。問人得幾何？答曰： 人得二錢八分錢之一。 ○經(jīng)分 〔淳風(fēng)等按：經(jīng)分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以 人數(shù)分所分，故曰經(jīng)分也?！? 術(shù)曰：以人數(shù)為法，錢數(shù)為實，實如法而一。有分者通之。 〔母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全內(nèi)子。 乘，散全則為積分，積分則與子相通，故可令相從。凡數(shù)相與者謂之率。率知， 自相與通。有分則可散，分重疊則約也；等除法實，相與率也。故散分者，必令 兩分母相乘法實也?！? 重有分者同而通之。 〔又以法分母乘實，實分母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內(nèi) 子，又令分母互乘上下?！? 今有田廣七分步之四，從五分步之三，問為田幾何？答曰：三十五分步之十 二。 又有田廣九分步之七，從十一分步之九，問為田幾何？答曰：十一分步之七。 又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？答曰：九分步之四。 ○乘分 〔淳風(fēng)等按：乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故曰乘分?！? 術(shù)曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。 〔凡實不滿法者而有母、子之名。若有分，以乘其實而長之，則亦滿法，乃 為全耳。又以子有所乘，故母當(dāng)報除。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各 當(dāng)報除，因令分母相乘而連除也。此田有廣從，難以廣諭。設(shè)有問者曰：馬二十 匹，直金十二斤。今賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？答曰：三十五分斤 之十二。其為之也，當(dāng)如經(jīng)分術(shù)，以十二斤金為實，三十五人為法。設(shè)更言馬五 匹，直金三斤。今賣馬四匹，七人分之，人得幾何？答曰：人得三十五分斤之十 二。其為之也，當(dāng)齊其金、人之?dāng)?shù)，皆合初問入于經(jīng)分矣。然則分子相乘為實者， 猶齊其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二十，馬無事于同，但欲求 齊而已。又，馬五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分斤之 三。七人賣四馬，一人賣七分馬之四。金與人交互相生。所從言之異，而計數(shù)則 三術(shù)同歸也?！? 今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二，問為田幾何？答曰：十八步。 又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五，問為田幾何？答曰：一百 二十步九分步之五。 又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問為田幾何？答曰： 一畝二百步十一分步之七。 ○大廣田 〔淳風(fēng)等按：大廣田知，初術(shù)直有全步而無余分；次術(shù)空有余分而無全步； 此術(shù)先見全步，復(fù)有余分，可以廣兼三術(shù)，故曰大廣?！? 術(shù)曰：分母各乘其全，分子從之， 〔分母各乘其全，分子從之者，通全步內(nèi)分子。如此則母、子皆為實矣?！? 相乘為實。分母相乘為法。 〔猶乘分也。〕 實如法而一。 〔今為術(shù)廣從俱有分，當(dāng)各自通其分。命母入者，還須出之，故令分母相乘 為法而連除之?！? 今有圭田廣十二步，正從二十一步，問為田幾何？答曰：一百二十六步。 又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二，問為田幾何？答曰：二十 三步六分步之五。 術(shù)曰：半廣以乘正從。 〔半廣知，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按：半廣乘從，以取中 平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也。〕 今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？ 答曰：九畝一百四十四步。 又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？ 答曰：二十三畝七十步。

《九章算術(shù)》講的是什么內(nèi)容？

《九章算術(shù)》的九章的主要內(nèi)容分別是： 第一章“方田”：田畝面積計算； 第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換； 第三章“衰分”：比例分配問題； 第四章“少廣”：已知面積、體積、求其一邊長和徑長等； 第五章“商功”：土石工程、體積計算； 第六章“均輸”：合理攤派賦稅； 第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問題； 第八章“方程”：一次方程組問題； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題．

九章算術(shù) 是誰寫的

沒有寫歷史上記載是東漢民間前的一套整理之前的一本數(shù)學(xué)書

《九章算術(shù)》

5÷（1－1/3）÷（1－1/5）÷（1－1/7）＝175/16斗

九章算術(shù)中的九章是指什么

《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式。這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章。

《九章算術(shù)》里的問題

設(shè)兩地距離x。 3x/25+3x/35=5*24 x=120/（3/25+3/35） x=1750/3

九章算術(shù)中的問題

水池深度，蘆葦長度，正方形邊長一半 組成了一個直角三角形 設(shè)水池深度x，則蘆葦長度x+1 （x+1)2=x2+(10/2）2 解得x=12 x+1=13 答：水池深度12尺，蘆葦長度13尺 應(yīng)該是這個答案

九章算術(shù)中的洛書之圖

有會算的 中國易學(xué)關(guān)于八卦來源的傳說，最初指天賜的祥瑞。河洛之辭，最早見于《尚書·顧命》，又見于《論語·子罕》?！渡袝ゎ櫭罚骸按笥?，夷玉，天球，河圖在東序?！薄豆茏印ば〕肌罚骸拔羧酥苊?，龍龜假，河出圖，洛出書，地出乘黃，今三祥未見有者?！薄吨芤住は缔o上》：“河出圖，洛出書，圣人則之?！闭J為八卦乃據(jù)河洛推演出來。漢人多宗此說，以河洛解釋八卦來源。 （1）河洛所指，后世理解不一。西漢劉歆以河圖為八卦，以《尚書·洪范》為洛書。漢代緯書有《河圖》九篇，《洛書》六篇。以九六附會河洛之?dāng)?shù)。宋初陳摶創(chuàng)“龍圖易”。吸收漢唐九宮說與五行生成數(shù)，提出一個圖式，名龍圖，即河圖。西蜀隱者則以陳摶之先天太極圖為河圖。劉牧將陳摶龍圖發(fā)展為河圖、洛書兩種圖式，將九宮圖稱為河圖，五行生成圖稱為洛書。南宋朱震于《周易掛圖》中載其圖。南宋蔡元定認為劉牧將河圖與洛書顛倒了，將九宮圖稱為洛書，五行生成圖稱為河圖。朱熹《周易本義》卷首載其圖。后世所稱一般以蔡說為準(zhǔn)。南宋薛季宣以九數(shù)河圖、十?dāng)?shù)洛書為周王朝的地圖、地理志圖籍。清黃宗羲《易學(xué)象數(shù)論》、胡渭《易圖明辨》亦認為河圖洛書為四方所上圖經(jīng)一類。今人高亨認為河圖洛書可能是古代地理書，另有人認為河圖為上古氣候圖，洛書為上古方位圖，或以為河圖為天河之圖。眾說不一，尚在繼續(xù)探求中。 （2）河圖，洛書的關(guān)系。一般認為河圖為體，洛書為用；河圖主常，洛書主變；河圖重合，洛書重分；方圓相藏，陰陽相抱，相互為用，不可分割。漢代劉歆認為：“河圖洛書相為經(jīng)緯?！保ā稘h書·五行志》注）南宋朱熹、蔡元定：“河圖主全，敵極于十；洛書主變，故極于九。”“河圖以五生數(shù)統(tǒng)五成數(shù)而同處于方，蓋揭其全以示人而道其常，數(shù)之體也。洛書以五奇數(shù)統(tǒng)四偶數(shù)而各居其所，蓋主于陽以統(tǒng)陰而肇其變，數(shù)之用也?！辈⒄J為河圖象天圓，其數(shù)為三，為奇；洛書象地方，其數(shù)為二，為偶。（《易學(xué)啟蒙》）蔡沉：“河圖體圓而用方，圣人以之而畫卦；洛書體方而用圓，圣人以之而敘疇?！辈⒄J為河圖主象、洛書主數(shù)；河圖主偶、洛書主奇；河圖主靜、洛書主動。（《洪范皇極·內(nèi)篇》）清萬年淳以圖之方圓論河洛關(guān)系，認為：“河圖外方而內(nèi)圓”，“中十點作圓布”，“外四圈分布四方，為方形，十包五在內(nèi)，仍然圓中藏方，方中藏圓，陰中有陽，陽中有陰之妙也。而十五居中，即洛書縱橫皆十五之?dāng)?shù)，是又河圖包裹洛書之象。河圖點皆平鋪，無兩折，洛書亦然。”“洛書外圓而內(nèi)方，圓者黑白共四十?dāng)?shù)，圓布精其外，包裹河圖之象?！薄昂訄D已具洛書之體，洛書實有運用河圖之妙，因?qū)D書奇偶方圓交互表之以圖。”（《易拇》）近代杭辛齋認為：“河圖為體而中有用，洛書為用而中有體?！薄坝幸詧D書配八卦者，多拘執(zhí)而不能悉當(dāng)，其實河圖為體、洛書為用，河圖即先天，洛書即后天?！薄肮蕡D與書，相互表里，不能分割?！保ā兑仔ā罚┻€有人認為河圖重“合”，具有奇偶相配、陰陽互抱、生成相依的特點；洛書重“分”，具有奇偶分離，生成異位的特點，兩者一分一合，體現(xiàn)對立統(tǒng)一、盛衰動靜的辯證關(guān)系。 《易.系辭上》：“是故天生神物，圣人則之；天地變化，圣人故之；天垂象見吉兇，圣人象之；河出《圖》，洛出《書》，圣人則之?！笨鬃酉嘈藕訄D、洛易的存在，并以二者作為圣人作《易》的四條依據(jù)之一。

《九章算術(shù)·商功》主要講述了什么內(nèi)容？

第一章“方田”，列題38個。主要講平面幾何圖形面積（土地面積）的計算方法。包括長方形（直田）、等腰三角形（圭田）、直角梯形（邪田）、等腰梯形（箕田）、圓（圓田）及圓環(huán)（環(huán)田）等的面積公式。方田章從第五題開始就系統(tǒng)講述分?jǐn)?shù)的運算。其中包括約分、通分、分?jǐn)?shù)的四則運算，比較分?jǐn)?shù)的大小，以及求幾個分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均數(shù)等?！　〉诙隆八诿住?，列題46個。主要講各種糧食折算的比例問題，在成比例的四個數(shù)中，根據(jù)三個已知數(shù)求第四個數(shù)，所用方法稱為“今有術(shù)”?！　〉谌隆八シ帧?，列題20個。衰分是按比例遞減分配的意思。這一章主要講按比例分配物資或按一定比例攤派稅收的比例分配問題。其中含有用比例方法解決的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題。　　第四章“少廣”，列題24個。主要講已知正方形面積或長方體體積反求邊長，即開平方或開立方的方法，還給出了由圓面積求周長，由球體積求直徑的近似公式。由于取圓周率為3，所以精確度較差?！　〉谖逭隆吧坦Α?，列題28個。主要講各種形體的體積計算公式。涉及的幾何體有長方體、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、楔形體等。問題的大都來源于營造城垣、開鑿溝渠，修造倉窖等實際工程?！　〉诹隆熬敗?，列題28個，均輸意為按人口多少、路途遠近和谷物貴賤合理攤派稅收和勞役等。這一章主要講以賦稅計算和其它應(yīng)用問題為中心的較為復(fù)雜的比例問題的計算方法。　　第七章“盈不足”，列題20個。主要講以盈虧問題為中心的計算方法?！　〉诎苏隆胺匠獭?，列題18個。主要講一次方程組問題的解法，并提出了關(guān)于正、負數(shù)加減運算的“正負術(shù)”?！　〉诰耪隆肮垂伞?，列題24個。主要講勾股定理的應(yīng)用和測量問題，以及勾股容方和容圓問題的解法。