日本本道

芝諾的系列悖論中最有名的一個是“阿喀琉斯和烏龜”。

神話中，阿喀琉斯（也稱阿基里斯，希臘神話中的勇士，曾參加圍攻特洛伊城）出生后被其母倒提著腳在冥河水中浸過，因此除未浸到水的腳踵外，渾身刀槍不入。

“阿喀琉斯和烏龜”悖論說的是，英雄阿喀琉斯參加與一只烏龜?shù)拈L跑比賽。

這不是一只普通烏龜，而是在擊敗了伊索（古希臘寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只烏龜。

為了公平起見，阿喀琉斯讓烏龜領(lǐng)先一步——比如1千米。比賽開始后，阿喀琉斯很快就到達了烏龜?shù)某霭l(fā)點。

然而，此時烏龜已笨拙地前進了一段距離，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了這100米，但此刻烏龜又往前挪動了一小段距離——1/100千米……

芝諾悖論指出，由于烏龜總是領(lǐng)先阿喀琉斯一步——每當阿喀琉斯到達烏龜所在的上一個位置，烏龜總是又往前走了一段距離（盡管這段距離可能很短很短），所以阿喀琉斯永遠都追不上烏龜。

雖然阿喀琉斯每次所跑的距離越來越短，但烏龜有無限段領(lǐng)先距離需要他跨越。這個距離用公式可表述為：

1+1/10+1/100+1/1000+…10的無限次方分之一

根據(jù)芝諾所言，阿喀琉斯“不可能在有限時間內(nèi)跨越無限段銷搜緩的距離”。

直到19世紀，數(shù)學家才證明了芝諾悖論是錯的。隨著阿喀琉斯與烏龜之間的距離越來越短，阿喀琉斯追趕得也越來越快。

事實上，阿喀琉斯與烏龜之間的距離最終會變得無限短，以至于他瞬間就跑過了烏龜。

因此，他完全漏頌能趕上烏龜，輕易超越它。

也許讀到這里，還是有些讀者搞不明白芝諾悖論為什么是錯的。

其實，不少當代哲學家聲稱，芝諾悖論在數(shù)學邏輯上也許是錯的，但在邏輯思維上完全站得住腳。果真如此嗎？

事實上，提出這一悖論的芝諾本人恐怕也知道阿喀琉斯追得上烏龜。不然的話，芝諾悖論就不會被叫作悖論了。芝諾把阿喀琉斯追烏龜?shù)倪^程無限分割，這一點沒有什么錯誤。

但由此得出追趕過程的段落無窮多、因而追趕過程的持續(xù)時間也無窮大這個結(jié)論就大錯特錯了。無窮個數(shù)字相加之和可以是有限的數(shù)值，而不是想當然的無窮大。

中國莊周所著《莊子》一書的《天下篇》中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。

一尺的長度可以無限分割，換句話說，無窮個線段相加可以等于一尺。

無窮個線段之和可以是有限的，因此走完這樣的無窮個線段所需的時間也是有限的。

線段上有無窮個點，點沒有大小，線段卻有確定的長度。

這個問題正好和芝諾悖論有些相似，如果理解不了芝諾悖論，那么就解釋不清楚為什么沒有長度的點能構(gòu)成線段。

事實上，這也正是亞里士多德對芝諾這一悖論的反駁思路。

現(xiàn)在回到前述的悖論。

那么，到什么位置時阿喀琉斯能追上烏龜呢？由于19世紀數(shù)學家們的工作，我們知道，對于任何介于0和1之間的數(shù)值n來說：

1+n+n2 +n3 +…n的無限次方=1/（1-n）

對于芝諾悖論而虧模言，取n=1/10，那么阿喀琉斯會在僅僅跑了1.11米之后就追上烏龜。

看上去，這個結(jié)果不過是滿足人們對一個歷史悖論的好奇心。然而，這種觀念直到今天依然具有現(xiàn)實意義。

當然，數(shù)學家們不是用它來研究人龜賽跑，而是利用它來與疾病作斗爭。