點到直線的距離公式向量方法

點到直線的距離公式是：

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的坐標為（x0,y0），則點 P 到直線 L 的距離為：

同理可知，當P（x0,y0），直線L的解析式為y=kx+b時，則點P到直線L的距離為：

考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)。

證明方法：

定義法證：根據(jù)定義，點P(x?,y?)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長，設(shè)點P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點Q的坐標為((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由兩點間距離公式得：

PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的坐標為（Xo，Yo），則點 P 到直線 L 的距離為：

過程：

1.設(shè)直線l的方程為Ax+By+Cz+D=0 顯然它與直線Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而后者從表達式可以看出它和向量(A,B,C)垂直.

2.考慮直線外一點P和直線上一點Q，則有向量PQ，如果它垂直于直線l，那么PQ的長度就是點到直線的距離。如果它不垂直于直線l，那么設(shè)P到直線l的垂足為R，由直角三角形的關(guān)系，PQcost=PR，cost是PQ與PR夾角的余弦，而PR與(A,B,C)都垂直于l，因此它倆平行。于是，夾角t可由PQ和(A,B,C)得出。

3.現(xiàn)在，P已知，Q可任取，(A,B,C)已知，故t已知。于是PR的長度已知，于是點到直線的距離已知。將以上過程用坐標寫出來就得到了點到直線的距離公式了。

一般情況下，點與直線的距離，是指點到直線的最短距離，即垂直距離。 在二維直角坐標中，直線Ax+By+C=0與點(p,q)的最短距離為：

直線：

直線由無數(shù)個點構(gòu)成。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒有端點，向兩端無限延伸，長度無法度量。直線是軸對稱圖形。

它有無數(shù)條對稱軸，其中一條是它本身，還有所有與它垂直的直線（有無數(shù)條）對稱軸。在平面上過不重合的兩點有且只有一條直線，即不重合兩點確定一條直線。在球面上，過兩點可以做無數(shù)條類似直線。

構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點、直線、平面屬于基本概念，由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來界定。

兩點間距離公式：

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標系中的兩個點,則

點到直線距離公式：一點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離為

求向量AB在向量n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為：

異面直線是不在同一平面上的兩條直線。異面直線是既不相交，又不平行的直線。因為兩條直線如果相交或平行，則它們必在同一平面上。若無特別的說明，所說的空間直線，都是指異面直線。

性質(zhì)

1、和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線。

2、兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離。

3、過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。