高中數(shù)學統(tǒng)計與概率公式

概率論產生于十七世紀，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學家們思考概率論中問題的源泉。
早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數(shù)學家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當其中一個人贏了 a (a近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展，概率論大量應用到國民經濟、工農業(yè)生產及各學科領域。許多興起的應用數(shù)學，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎的。 　概率論和數(shù)理統(tǒng)計是一門隨機數(shù)學分支，它們是密切聯(lián)系的同類學科。但是應該指出，概率論、數(shù)理統(tǒng)計、統(tǒng)計方法又都各有它們自己所包含的不同內容。 概率論作為一門數(shù)學分支，它所研究的內容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。 　 概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于 0和 1之間。
有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結果；第二，各個結果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現(xiàn)象叫做“古典概型”。
在客觀世界中，存在大量的隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象產生的結果構成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現(xiàn)象的各個結果，就叫做隨機變量。
隨機變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。
在離散型隨機變量的概率分布中，比較簡單而應用廣泛的是二項式分布。如果隨機變量是連續(xù)的，都有一個分布曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學期望，差異度也就是標準方差。 數(shù)理統(tǒng)計包括抽樣、適線問題、假設檢驗、方差分析、相關分析等內容。抽樣檢驗是要通過對子樣的調查，來推斷總體的情況。究竟抽樣多少，這是十分重要的問題，因此，在抽樣檢查中就產生了“小樣理論”，這是在子樣很小的情況下，進行分析判斷的理論。
適線問題也叫曲線擬和。有些問題需要根據積累的經驗數(shù)據來求出理論分布曲線，從而使整個問題得到了解。但根據什么原則求理論曲線？如何比較同一問題中求出的幾種不同曲線？選配好曲線，有如何判斷它們的誤差？...... 就屬于數(shù)理統(tǒng)計中的適線問題的討論范圍。
假設檢驗是只在用數(shù)理統(tǒng)計方法檢驗產品的時候，先作出假設，在根據抽樣的結果在一定可靠程度上對原假設做出判斷。
方差分析也叫做離差分析，就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗就可以做出的判斷。
由于隨機現(xiàn)象在人類的實際活動中大量存在，概率統(tǒng)計隨著現(xiàn)代工農業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機過程、信息論、極限理論、試驗設計、多元分析等。

統(tǒng)計概率是建立在頻率理論基礎上的，分別由英國邏輯學家約翰(JohnVenn1834-1923)和奧地利數(shù)學家理查德(RichardVonMises1883-1953)提出，他們認為，獲得一個事件的概率值的唯一方法是通過對該事件進行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互獨立的n次隨機試驗，針對每次試驗均記錄下絕對頻率值和相對頻率值hn(A)，隨著試驗次數(shù)n的增加，會出現(xiàn)如下事實，即相對頻率值會趨于穩(wěn)定，它在一個特定的值上下浮動，也即是說存在著一個極限值P(A)，相對頻率值趨向于這個極限值。這個極限值被稱為統(tǒng)計概率，表示為：例如，若想知道在一次擲骰子的隨機試驗中獲得6點的概率值可以對其進行3000次前后獨立的扔擲試驗，在每一次試驗后記錄下出現(xiàn)6點的次數(shù)，然后通過計算相對頻率值可以得到趨向譽配于某一個數(shù)的統(tǒng)計概率值。 扔擲數(shù) 獲得6點的絕對頻率 獲得6點的相對頻率 1 1 1.00000 2 1 0.50000 3 1 0.33333 4 1 0.25000 5 2 0.40000 10 2 0.20000 20 5 0.25000 100 12 0.12000 200 39 0.19500 300 46 0.15333 400 72 0.18000 500 76 0.15200 600 102 0.17000 700 120 0.17143 1000 170 0.17000 2000 343 0.17150 3000 560 0.16867 上面譽灶提到的這個有關相對頻率的經驗值又被稱為大數(shù)定律，是頻率理論學家定義慶虛指概率論的基礎。然而沒有人可以將骰子無限的扔下去，因此在實踐中也就無法有力的證明大數(shù)定律，許多來自數(shù)學理論的論證至今也沒有取得成功。盡管如此，統(tǒng)計概率在今天的實踐中具有重要意義，它是數(shù)理統(tǒng)計的基礎。

概率論衫判空是數(shù)理統(tǒng)計的基礎或瞎，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的一種應用。區(qū)別如下：

一、應用不同：概率論與數(shù)理統(tǒng)計屬于數(shù)學的一個分支，它更注重于理論研究，它的結論廣泛應用于各領域隨機現(xiàn)象的研究。

二、變量不同：社會統(tǒng)計學描述的是變量，數(shù)理統(tǒng)計學描述的是隨機變量。

三、形式不同：統(tǒng)計學更注重應用，它的許多結論都來自于概率論與數(shù)理統(tǒng)計。數(shù)沖哪理統(tǒng)計更注重公式的推導，而統(tǒng)計學原理只是把數(shù)理統(tǒng)計的`公式轉換為更易用的形式。

四、概率不同：概率研究的是單個事件發(fā)生的概率。數(shù)理統(tǒng)計研究的是一個群體的抽樣概率。以及發(fā)生這個概率的可能區(qū)間。數(shù)理統(tǒng)計更傾向于統(tǒng)計學的概念。

數(shù)理統(tǒng)計特點

它以隨機現(xiàn)象的觀察試驗取得資料作為出發(fā)點，以概率論為理論基礎來研究隨機現(xiàn)象，根據資料為隨機現(xiàn)象選擇數(shù)學模型，且利用數(shù)學資料來驗證數(shù)學模型是否合適，在合適的基礎上再研究它的特點，性質和規(guī)律性。

例如燈泡廠生產燈泡，將某天的產品中抽出幾個進行試驗，試驗前不知道該天燈泡的壽命有多長，概率和其分布情況。試驗后得到這幾個燈泡的壽命作為資料，從中推測整批生產燈泡的使用壽命、合格率等。為了研究它的分布，利用概率論提供的數(shù)學模型進行指數(shù)分布，求出值，再利用幾天的抽樣試驗來確定指數(shù)分布的合適性。

概率的計算公式是：P(A)=m/n，“(A)”表示事件，“m”表示事件（A）發(fā)生的總數(shù)，“n”是總事件發(fā)生的總數(shù)。概率的計算需要具體情況具體分析，沒有一個統(tǒng)一的萬能公式。

概率的考點分析

1.隨機事件和概率，包括樣本空間與隨機事件；概率的定義與性質（含古典概型、幾何概型、加法公式）；條件概率與概率的乘法公式；事件之間的關系與運算（含事件的獨立性）；全概公式與貝葉斯公式；伯努利概型。

2.隨機變量及其概率分布，包括隨機變量的概念及分類；離散型隨機變量概率分布及其性質；連續(xù)型隨機變量概率密度及其性質；隨機變量分布函數(shù)及其性質；常見分布；隨機變量函數(shù)的分布。

3.二維隨機變量及其概率分布，包括多維隨機變量的概念及分類；二維離散型隨機變量聯(lián)合概率分布及其性質；二維連續(xù)型隨機變量聯(lián)合概率密度及其性質；二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質；二維隨機變量的邊緣分布和條件分布；隨機變量的獨立性；兩個隨機變量的簡單函數(shù)的分布。