點到直線方程的距離公式
點到直線的距離公式是:
設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0,點 P 的坐標(biāo)為(x0,y0),則點 P 到直線 L 的距離為:
同理可知,當(dāng)P(x0,y0),直線L的解析式為y=kx+b時,則點P到直線L的距離為:
考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n,有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)。
證明方法:
定義法證:根據(jù)定義,點P(x?,y?)到直線l:Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長,設(shè)點P到直線的垂線為l',垂足為Q,則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點Q的坐標(biāo)為((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由兩點間距離公式得:
PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2),公式得證。
設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0,點 P 的坐標(biāo)為(Xo,Yo),則點 P 到直線 L 的距離為:
過程:
1.設(shè)直線l的方程為Ax+By+Cz+D=0 顯然它與直線Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而后者從表達(dá)式可以看出它和向量(A,B,C)垂直.
2.考慮直線外一點P和直線上一點Q,則有向量PQ,如果它垂直于直線l,那么PQ的長度就是點到直線的距離。如果它不垂直于直線l,那么設(shè)P到直線l的垂足為R,由直角三角形的關(guān)系,PQcost=PR,cost是PQ與PR夾角的余弦,而PR與(A,B,C)都垂直于l,因此它倆平行。于是,夾角t可由PQ和(A,B,C)得出。
3.現(xiàn)在,P已知,Q可任取,(A,B,C)已知,故t已知。于是PR的長度已知,于是點到直線的距離已知。將以上過程用坐標(biāo)寫出來就得到了點到直線的距離公式了。
A^2+B^2)的平方根.(說明:既然是直線AX+BY+C=0,這里A,B不能同時為0)
方法二:過點M分別作垂直于兩坐標(biāo)軸的直線,且交已知直線分別于C、D兩點,三角形MCD為直角三角形,點到直線的距離即是直角三角形MCD斜邊上的高。而C、D兩點的坐標(biāo)較易求解,利用平行于坐標(biāo)軸的兩點間的距離公式,可得到兩直角邊MC、MD的長度,再利用勾股定理求出斜邊的長,最后利用等面積法求出點到直線的距離。
一般情況下,點與直線的距離,是指點到直線的最短距離,即垂直距離。 在二維直角坐標(biāo)中,直線Ax+By+C=0與點(p,q)的最短距離為:
直線:
直線由無數(shù)個點構(gòu)成。直線是面的組成成分,并繼而組成體。沒有端點,向兩端無限延伸,長度無法度量。直線是軸對稱圖形。
它有無數(shù)條對稱軸,其中一條是它本身,還有所有與它垂直的直線(有無數(shù)條)對稱軸。在平面上過不重合的兩點有且只有一條直線,即不重合兩點確定一條直線。在球面上,過兩點可以做無數(shù)條類似直線。
構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中,點、直線、平面屬于基本概念,由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來界定。
兩點間距離公式:
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點,則
點到直線距離公式:一點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離為
兩條平行直線的距離公式是:若兩直線分別為Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0,則距離為|C1-C2|/√ (A2+B2)。
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間上午公垂線段的長。夾在兩條平行直線間公垂線段的長處處相等。在直角坐標(biāo)系中,斜率相等或同時不存在的兩直線平行。
兩條直線不在同一平面內(nèi)
1、兩直線經(jīng)過平移后相交成直角,則稱兩條直線互相垂直。
2、線面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線, 一條直線垂直于三角形的兩邊,那么它也垂直于另外一邊。
3、三垂線定理,在平面內(nèi)的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。
距離公式:d=|C1-C2|/√(A^2+B^2)
公式由來:
設(shè)兩條直線方程為Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0。兩平行直線間的距離就是從一條直線上任一點到另一條直線的距離,設(shè)點P(a,b)在直線Ax+By+C1=0上,則滿足Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1。
由點到直線距離公式,P到直線Ax+By+C2=0距離為d=|Aa+Bb+C2|/√(A^2+B^2)=|-C1+C2|/√(A^2+B^2)=|C1-C2|/√(A^2+B^2)
擴(kuò)展資料:
點到直線距離公式介紹:
一、總公式:
設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0,點 P 的坐標(biāo)為(Xo,Yo),則點 P 到直線 L 的距離為:
考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n,有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)
d=√((x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2-s2)
二、引申公式:
公式①:設(shè)直線l1的方程為??;
直線l2的方程為?則 2條平行線之間的間距:
公式②:設(shè)直線l1的方程為??;直線l2的方程為?
則 2條直線的夾角??,
異面直線距離計算公式如下圖:
向量方法:先求兩異面直線的公共法向量,再求兩異面直線上任意兩點的連結(jié)線段在公共法向量上的射影長。該公式可以這樣理解:設(shè)異面直線AM和BN,其中AB是公垂線,M、N是兩條直線上任意的兩點。
有關(guān)定理:
定理一:任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。
定理二:兩條異面直線的公垂線段長(異面直線的距離)是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。
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