演示版高中數(shù)學(xué)直線方程公式
直線的參數(shù)方程x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直線經(jīng)過(guò)(x',y'),且傾斜角為a,t為參數(shù)
或者x=x'+ut,y=y'+vt (t∈R)x',y'直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x',y'),u,v表示直線的方向向量d=(u,v)。
其他參數(shù)方程
一般在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù):x=f(t),y=g(t),并且對(duì)于t的每一個(gè)允許的取值,由方程組確定的點(diǎn)(x,y)都在這條曲線上,那么這個(gè)方程就叫做曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù)。
圓的參數(shù)方程
x=a+r cosθy=b+r sinθ(a,b)為圓心坐標(biāo)r為圓半徑θ為參數(shù)
橢圓的參數(shù)方程
x=a cosθy=b sinθa為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)b為短半軸長(zhǎng)θ為參數(shù)
雙曲線的參數(shù)方程
x=a secθ(正割)y=b tanθa為實(shí)半軸長(zhǎng)b為虛半軸長(zhǎng)θ為參數(shù)
拋物線的參數(shù)方程
x=2pt^2 y=2pt p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離t為參數(shù)
線性方程
線性方程也稱為一次方程,因?yàn)樵诘芽栕鴺?biāo)系上任何一個(gè)一次方程的表示都是一條直線。組成一次方程的每個(gè)項(xiàng)必須是常數(shù)或者是一個(gè)常數(shù)和一個(gè)變量的乘積。且方程中必須包含一個(gè)變量,因?yàn)槿绻麤](méi)有變量只有常數(shù)的式子是算數(shù)式而非方程式。形為ax+by+...+cz+d=0,關(guān)于x、y的線性方程,是指經(jīng)過(guò)整理后能變形為ax+by+c=0的方程(其中a、b、c為已知數(shù),a、b不同時(shí)為0)。一元線性方程是最簡(jiǎn)單的方程,其形式為ax=b。因?yàn)榘岩淮畏匠淘谧鴺?biāo)系中表示出來(lái)的圖形是一條直線,故稱其為線性方程。
基本信息
中文名
線性方程
外文名
linear equation
別名
一次方程
含義
未知數(shù)都是一次的方程
一般形式
ax+by+...+cz+d=0
簡(jiǎn)要概述
線性方程也稱為一次方程,因?yàn)樵诘芽栕鴺?biāo)系上任何一個(gè)一次方程的表示都是一條直線。組成一次方程的每個(gè)項(xiàng)必須是常數(shù)或者是一個(gè)常數(shù)和一個(gè)變量的乘積。且方程中必須包含一個(gè)變量,因?yàn)槿绻麤](méi)有變量只有常數(shù)的式子是算數(shù)式而非方程式。[1]
方程形式形為 ax+by+...+cz+d=0 ,關(guān)于x、y的線性方程,是指經(jīng)過(guò)整理后能變形為ax+by+c=0的方程(其中a、b、c為已知數(shù),a、b不同時(shí)為0)。一元線性方程是最簡(jiǎn)單的方程,其形式為ax=b。因?yàn)榘岩淮畏匠淘谧鴺?biāo)系中表示出來(lái)的圖形是一條直線,故稱其為線性方程。
相關(guān)聯(lián)系在例子中(不是特例)變量y是x的函數(shù),而且函數(shù)和方程的圖像一致。
線性方程
線性方程
通常線性方程在實(shí)際應(yīng)用中寫(xiě)作:y=f(x)這里f有如下特性:f(x+y)=f(x)+f(y)f(ax)=af(x)這里a不是向量。一個(gè)函數(shù)如果滿足這樣的特性就叫做線性函數(shù),或者更一般的,叫線性化。因?yàn)榫€性的獨(dú)特屬性,在同類方程中對(duì)線性函數(shù)的解決有疊加作用。這使得線性方程最容易解決和推演。線性方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)中有重要規(guī)律。使用它們建立模型很容易,而且在某些情況下可以假設(shè)變量的變動(dòng)非常小,這樣許多非線性方程就轉(zhuǎn)化為線性方程。
答:直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系是:
與直線ax+by+c=0垂直的直線方程bx-ay+d=0
(x的系數(shù)與y的系數(shù)互換,再加一個(gè)負(fù)號(hào))
兩條直線垂直,斜率k的積=-1
直線ax+by+c=0的斜率k?=-a/b
直線bx-ay+d=0的斜率k?=b/a
k?×k?=-1
向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)
擴(kuò)展資料:
如果兩條直線垂直,兩條直線的斜率的積=-1
如果其中一條直線斜率=0,另外一條直線斜率就不存在(即平行x數(shù)軸和平行y數(shù)軸的情況)
兩條直線垂直的性質(zhì)
1、用直線上任意兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母,如:表示為直線AB或直線BA。
2、也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示,如:直線l。
線段用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的字母A、B或一個(gè)小寫(xiě)字母表示,有時(shí)這些字母也表示線段長(zhǎng)度。
推得L為 Y=1/2(X+2)
聯(lián)立拋物線C:5y^2+x-2y+1=0
得交點(diǎn)為X1=2*(0.2^0.5)-2,Y1=0.2^0.5
X2=-2*(0.2^0.5)-2,Y2=-0.2^0.5
則弦長(zhǎng)為:[(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2]^0.5=2
2、證明:該弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為:X=(X1+X2)/2=-2
Y=(Y1+Y2)/2=0 即為P點(diǎn)坐標(biāo)
即證明P 點(diǎn)是該弦的中點(diǎn)
在給定的平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)x=f(t),y=φ(t)且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組⑴所確定的點(diǎn)m(x,y)都在這條曲線上,那么方程組⑴稱為這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)稱為參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).類似地,也有曲線的極坐標(biāo)參數(shù)方程ρ=f(t),θ=g(t)圓的參數(shù)方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 為圓心坐標(biāo),r 為圓半徑,θ 為參數(shù),(x,y) 為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)橢圓的參數(shù)方程 x=a cosθ y=b sinθ(θ∈[0,2π)) a為長(zhǎng)半軸長(zhǎng) b為短半軸長(zhǎng) θ為參數(shù)橢圓雙曲線的參數(shù)方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a為實(shí)半軸長(zhǎng) b為虛半軸長(zhǎng) θ為參數(shù)拋物線的參數(shù)方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 t為參數(shù)直線的參數(shù)方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直線經(jīng)過(guò)(x',y'),且傾斜角為a,t為參數(shù).或者x=x'+ut, y=y'+vt (t∈R)x',y'直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x',y'),u,v表示直線的方向向量d=(u,v)圓的漸開(kāi)線x=r(cosφ+φsinφ) y=r(sinφ-φcosφ)(φ∈[0,2π)) r為基圓的半徑 φ為參數(shù)
1、R=3,圓心在 y=x 上,過(guò)點(diǎn)(5,2),可以設(shè)圓心坐標(biāo)為段差(a,a)
???? 兩點(diǎn)間距離:(a-5)2+(a-2)2=32? →?? a2-7a+10=0? 解得 a=2 或 a=5
???? 圓方程為 (x-2)2+(y-2)2=32? 或 (x-5)2+(y-5)2=32
2、x2+y2=1,圓心為(0,宏燃吵0),關(guān)于? y=1-x? 對(duì)稱,則兩圓心坐標(biāo)在 y=1-x?的垂線上
???? 垂線方程為 y=x+b,經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn),解得b=0,即直線方程為? y=x
???? 根據(jù)中點(diǎn)在y=1-x?上,則中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,1-x)。
???? 可設(shè)對(duì)稱圓心坐標(biāo)為(a,a),則根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),有
??? ?(a+0)/2=x,(a+0)/2=1-x? →?? a=2x,a=2-2x? →??x=1/2,a=1
???? 即對(duì)稱圓心坐標(biāo)為(1,1),圓方程為 (x-1)2+(y-1)2=1
3、兩圓相切,則兩圓心、切點(diǎn)3 點(diǎn)共線,根據(jù)兩點(diǎn)式,此直線方程為?
???? (x-1)/(3-1)=(y-2)/(4-2)?? →?? y=x+1? 代入圓1找切點(diǎn)
???? (x-3)2+(x+1-4)2=25?? →?? 2x2-12x-7=0? ?→?? x=3-5√2/2 或 3+5√2/2
???? 則兩個(gè)切點(diǎn)分別是 (3-5√2/2,4-5√2/2),(3+5√2/2,4+5√2/2)
??? 【沒(méi)事~~驗(yàn)算下:切點(diǎn)到圓心1的距離 2個(gè)(±5√2/2)2開(kāi)根確實(shí)是半徑5,正確】
???? ——看來(lái)呀,這兩兄弟圓輪流內(nèi)切喲呵呵~~
???? 接著,找圓2的半徑——那兩個(gè)切點(diǎn)到(1,2)的距離~~**
???? R1=√[(3-5√2/2-1)2+(4-5√2/2-2)2]=√[2(2-5√2/2)2]=√2×|2-5√2/2|=5-2√2
???? R2=√[(3+5√2/2-1)2+(4+5√2/2-2)2]=√[2(2+5√2/2)2]=√2×|-5√2/2|=5+2√2
?????所以,圓2方程為(2個(gè)):
???? (x-1)2+(y-2)2=(5-2√2)2? 或 x-1)2+(y-2)2=(5+2√2)2? ——如圖:
4、先將兩直線交點(diǎn)變成k的式子,然后代進(jìn)圓方程求k ~~
???? 聯(lián)列兩直線方程解得:x=-4k,y=-3k,代入圓方程
???? 16k2+9k2=9? →?? k=±3/5
5、思考啊~~這三個(gè)點(diǎn)有兩種情況,一就是,其中有點(diǎn)是圓心,而另外兩點(diǎn)則在圓上
???? (注意,不能有兩點(diǎn)同時(shí)為加以哈~~那樣就不是三點(diǎn)共圓了~~)——這可以計(jì)算
????? 三點(diǎn)之間蔽侍的三條線段長(zhǎng)確定;二是,另有一圓心,它到三點(diǎn)的距離相等,求此圓心。
????? ——干吧~~
????? AB=√[(5+1)2+(1-2)2]=√37,AC=√[(5-1)2+(1+3)2]=√32,BC=√[(-1-1)2+(2+3)2]=√29
????? 呀咿~~一個(gè)都不相等,排除A、B、C當(dāng)圓心!
?????那就設(shè)圓心為(x,y),則它到A、B、C的距離相等=半徑 r 嘿嘿~~
????? (x-5)2+(y-1)2=(x+1)2+(y-2)2=(x-1)2+(y+3)2=r2
???? 解它們,x2-10x+25+y2-2y+1=x2+2x+1+y2-4y+4=x2-2x+1+y2+6y+9=r2
????????????????? 12x-2y-21=0,4x-10y-5=0,x+y-2=0
???? 得 x=25/14,y=3/14,r2=2146/196=1073/98
???? 所以圓方程為 (x-25/14)2+(y-3/14)2=1073/98
???? 或者把兩邊的1/196約掉,寫(xiě)為 (14x-25)2+(14y-3)2=2146
直線方程一般式:Ax+By+C=0(AB≠0)?
斜截式:y=kx+b(k是斜率b是x軸截距)?
點(diǎn)斜式:y-y1=k(x-x1)(直線過(guò)定點(diǎn)(x1,y1))?
兩點(diǎn)式:(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)(直線過(guò)定點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2))?
截距式:x/a+y/b=1(a是x軸截距,b是y軸截距)
圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),或可以表示為(X+D/2)2+(Y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4。
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