一次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)

二次函數(shù)的表達(dá)式是f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。在這個(gè)多項(xiàng)式中，x是自變量，y是因變量，常數(shù)項(xiàng)是c，一次項(xiàng)系數(shù)是b，二次項(xiàng)系數(shù)是a。它的圖像是一條主軸與y軸平行的拋物線。
　　二次函數(shù)貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)，我們從初中與二次函數(shù)初次接觸，它將幾何和代數(shù)有機(jī)結(jié)合，是中考重點(diǎn)內(nèi)容，也是高中代數(shù)的奠基石。
　　二次函數(shù)主要有哪些知識(shí)點(diǎn)？
　　I.定義與定義表達(dá)式
　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
　　y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.）
　　則稱y為x的二次函數(shù)。
　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
　　II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
　　一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
　　頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2；+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]
　　交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]
　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
　　h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a
　　III.二次函數(shù)的圖像
　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，
　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
　　IV.拋物線的性質(zhì)
　　1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線
　　x=-b/2a。
　　對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）
　　2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為
　　P[-b/2a，(4ac-b^2；)/4a]。
　　當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
　　3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
　　當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。
　　|a|越大，則拋物線的開口越小。
　　4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；
　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。
　　5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
　　拋物線與y軸交于（0，c）
　　6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
　　Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
　　Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
　　Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
　　V.二次函數(shù)與一元二次方程
　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2；+bx+c，
　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
　　即ax^2；+bx+c=0
　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
　　函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
　　畫拋物線y＝ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)。
　　二次函數(shù)解析式的幾種形式
　　(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0).
　　(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k為常數(shù)，a≠0).
　　(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，a≠0.
　　說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)，h＝0時(shí)，拋物線y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí)，拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)
　　如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對(duì)稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對(duì)稱軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k
　　定義與定義表達(dá)式
　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
　　y=ax^2+bx+c
　?。╝，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）
　　則稱y為x的二次函數(shù)。
　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
　　x是自變量，y是x的函數(shù)
　　二次函數(shù)的三種表達(dá)式
　?、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
　?、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k
　?、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
　　以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：
　?、僖话闶胶晚旤c(diǎn)式的關(guān)系
　　對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即
　　h=-b/2a=(x1+x2)/2
　　k=(4ac-b^2)/4a
　?、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系
　　x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函數(shù)：y=ax^2+bx+c （a,b,c是常數(shù)，且a不等于0）
a>0開口向上
a<0開口向下
a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，反之，再y軸右側(cè)
|x1-x2|=根號(hào)下b^2-4ac除以|a|
與y軸交點(diǎn)為(0,c)
b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根
b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0無(wú)實(shí)根
b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根
對(duì)稱軸x=-b/2a
頂點(diǎn)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
函數(shù)向左移動(dòng)d(d>0)個(gè)單位，解析式為y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是減
函數(shù)向上移動(dòng)d(d>0)個(gè)單位，解析式為y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是減

當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上，拋物線在y軸的上方(頂點(diǎn)在x軸上)，并向上無(wú)限延伸；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下，拋物線在x軸下方(頂點(diǎn)在x軸上)，并向下無(wú)限延伸。｜a｜越大，開口越?。唬黙｜越小，開口越大.

4.畫拋物線y＝ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)。
二次函數(shù)解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).

(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，a≠0.

說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時(shí)，拋物線y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí)，拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

(2)當(dāng)拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)根x1和

x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2).

求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值的方法

①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)，對(duì)稱軸為直線x＝h，若a＞0，y有最小值，當(dāng)x＝h時(shí)，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，當(dāng)x＝h時(shí)，y最大值＝k.

②公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(- , ),求其頂點(diǎn)；對(duì)稱軸是直線x＝- ,若a＞0，y有最小值，當(dāng)x＝- 時(shí)，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，當(dāng)x＝- 時(shí)，y最大值＝ .

6.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的畫法

因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像是拋物線，是軸對(duì)稱圖形，所以作圖時(shí)常用簡(jiǎn)化的描點(diǎn)法和五點(diǎn)法，其步驟是：

(1)先找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出對(duì)稱軸；

(2)找出拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸的四個(gè)點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)；

(3)把上述五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái).

這么強(qiáng)烈，支持你！

對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。
（3）函數(shù)總是通過(guò)（1，0）這點(diǎn)。
（4）a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
（5）顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。

1．常量和變量
在某變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量，叫做變量．在某變化過(guò)程中保持同一數(shù)值的量或數(shù)，叫常量或常數(shù)．
2．函數(shù)
設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x在某一范圍的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)．
3．自變量的取值范圍
(1)整式：自變量取一切實(shí)數(shù)．
(2)分式：分母不為零．
(3)偶次方根：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．
(4)零指數(shù)與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：底數(shù)不為零．
4．函數(shù)值
對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值，如當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)對(duì)應(yīng)值，叫做x＝a時(shí)的函數(shù)值．
5．函數(shù)的表示法
(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法．
6．函數(shù)的圖象
把自變量x的一個(gè)值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可以在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出一個(gè)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合，叫做這個(gè)函數(shù)的圖象．
由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象的步驟：
(1)寫出函數(shù)解析式及自變量的取值范圍；
(2)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值；
(3)描點(diǎn)：以表中對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；
(4)連線：用平滑曲線，按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)連接起來(lái)．
7．一次函數(shù)
(1)一次函數(shù)
如果y＝kx＋b(k、b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù)．
特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，一次函數(shù)y＝kx＋b成為y＝kx(k是常數(shù)，k≠0)，這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)．
(2)一次函數(shù)的圖象
一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是一條經(jīng)過(guò)(0，b)點(diǎn)和 點(diǎn)的直線．
特別地，正比例函數(shù)圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線．
需要說(shuō)明的是，在平面直角坐標(biāo)系中，“直線”并不等價(jià)于“一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象”，因?yàn)檫€有直線y＝m(此時(shí)k＝0)和直線x＝n(此時(shí)k不存在)，它們不是一次函數(shù)圖象．
(3)一次函數(shù)的性質(zhì)
當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。?br/>直線y＝kx＋b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
(4)用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式
①任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＝0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)，當(dāng)y＝0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝kx＋b，確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
②二元一次方程組 對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)．
③任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b為常數(shù)，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：當(dāng)一次函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍．
8．反比例函數(shù)
(1)反比例函數(shù)
如果 (k是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的反比例函數(shù)．
(2)反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線．
(3)反比例函數(shù)的性質(zhì)
①當(dāng)k＞0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限內(nèi)，在各自的象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?br/>②當(dāng)k＜0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi)，在各自的象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
③反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝±x對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
(4)k的兩種求法
①若點(diǎn)(x0，y0)在雙曲線 上，則k＝x0y0．
②k的幾何意義：
若雙曲線 上任一點(diǎn)A(x，y)，AB⊥x軸于B，則S△AOB

(5)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題
若正比例函數(shù)y＝k1x(k1≠0)，反比例函數(shù) ，則
當(dāng)k1k2＜0時(shí)，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k1k2＞0時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 由此可知，正反比例函數(shù)的圖象若有交點(diǎn)，兩交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

1．二次函數(shù)
如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．
幾種特殊的二次函數(shù)：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h(huán))2(a≠0)．
2．二次函數(shù)的圖象
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象是對(duì)稱軸平行于y軸的一條拋物線．
由y＝ax2(a≠0)的圖象，通過(guò)平移可得到y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象．
3．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)對(duì)應(yīng)在它的圖象上，有如下性質(zhì)：
(1)拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)是 ，對(duì)稱軸是直線 ，頂點(diǎn)必在對(duì)稱軸上；
(2)若a＞0，拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向上，因此，對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)(x，y)，當(dāng)x＜ 時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＞ 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＝ ，y有最小值 ；
若a＜0，拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，因此，對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)(x，y)，當(dāng)x＜ ，y隨x的增大而增大；當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＝ 時(shí)，y有最大值 ；
(3)拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸的交點(diǎn)為(0，c)；
(4)在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的情況：
當(dāng)?＝b2－4ac＞0，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是 和 ，這兩點(diǎn)的距離為 ；當(dāng)?＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，即為此拋物線的頂點(diǎn) ；當(dāng)?＜0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．
4．拋物線的平移
拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k與y＝ax2形狀相同，位置不同．把拋物線y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k．平移的方向、距離要根據(jù)h、k的值來(lái)決定．

初中的函數(shù)包括:正比例函數(shù),反比例函數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù).幾乎同樣的方式學(xué)習(xí),即:定義\圖象與性質(zhì),應(yīng)用.

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)。

對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為y=logax，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)（圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=a^y。

因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a存在規(guī)定——a>0且a≠1，對(duì)于不同大小a會(huì)形成不同的函數(shù)圖形：關(guān)于X軸對(duì)稱、當(dāng)a>1時(shí)，a越大，圖像越靠近x軸、當(dāng)0

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

值域：實(shí)數(shù)集R，顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。

定點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖像恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）。

單調(diào)性：a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)。

0

奇偶性：非奇非偶函數(shù)。

周期性：不是周期函數(shù)。

對(duì)稱性：無(wú)。

最值：無(wú)。

零點(diǎn)：x=1。

注意：負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)。

兩句經(jīng)典話：底真同對(duì)數(shù)正，底真異對(duì)數(shù)負(fù)。