高中數(shù)學(xué)點(diǎn)到直線距離公式

點(diǎn)到直線的距離公式是：

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（x0,y0），則點(diǎn) P 到直線 L 的距離為：

同理可知，當(dāng)P（x0,y0），直線L的解析式為y=kx+b時，則點(diǎn)P到直線L的距離為：

考慮點(diǎn)(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)。

證明方法：

定義法證：根據(jù)定義，點(diǎn)P(x?,y?)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長，設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由兩點(diǎn)間距離公式得：

PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（Xo，Yo），則點(diǎn) P 到直線 L 的距離為：

過程：

1.設(shè)直線l的方程為Ax+By+Cz+D=0 顯然它與直線Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而后者從表達(dá)式可以看出它和向量(A,B,C)垂直.

2.考慮直線外一點(diǎn)P和直線上一點(diǎn)Q，則有向量PQ，如果它垂直于直線l，那么PQ的長度就是點(diǎn)到直線的距離。如果它不垂直于直線l，那么設(shè)P到直線l的垂足為R，由直角三角形的關(guān)系，PQcost=PR，cost是PQ與PR夾角的余弦，而PR與(A,B,C)都垂直于l，因此它倆平行。于是，夾角t可由PQ和(A,B,C)得出。

3.現(xiàn)在，P已知，Q可任取，(A,B,C)已知，故t已知。于是PR的長度已知，于是點(diǎn)到直線的距離已知。將以上過程用坐標(biāo)寫出來就得到了點(diǎn)到直線的距離公式了。

一般情況下，點(diǎn)與直線的距離，是指點(diǎn)到直線的最短距離，即垂直距離。 在二維直角坐標(biāo)中，直線Ax+By+C=0與點(diǎn)(p,q)的最短距離為：

直線：

直線由無數(shù)個點(diǎn)構(gòu)成。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒有端點(diǎn)，向兩端無限延伸，長度無法度量。直線是軸對稱圖形。

它有無數(shù)條對稱軸，其中一條是它本身，還有所有與它垂直的直線（有無數(shù)條）對稱軸。在平面上過不重合的兩點(diǎn)有且只有一條直線，即不重合兩點(diǎn)確定一條直線。在球面上，過兩點(diǎn)可以做無數(shù)條類似直線。

構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點(diǎn)、直線、平面屬于基本概念，由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來界定。

兩點(diǎn)間距離公式：

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點(diǎn),則

點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離為

兩條平行直線的距離公式是：若兩直線分別為Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，則距離為|C1-C2|/√ (A2+B2)。

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間上午公垂線段的長。夾在兩條平行直線間公垂線段的長處處相等。在直角坐標(biāo)系中，斜率相等或同時不存在的兩直線平行。

兩條直線不在同一平面內(nèi)

1、兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

2、線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線， 一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊。

3、三垂線定理，在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

距離公式：d=|C1-C2|/√(A^2+B^2)

公式由來：

設(shè)兩條直線方程為Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0。兩平行直線間的距離就是從一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，設(shè)點(diǎn)P(a,b)在直線Ax+By+C1=0上,則滿足Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1。

由點(diǎn)到直線距離公式,P到直線Ax+By+C2=0距離為d=|Aa+Bb+C2|/√(A^2+B^2)=|-C1+C2|/√(A^2+B^2)=|C1-C2|/√(A^2+B^2)

擴(kuò)展資料：

點(diǎn)到直線距離公式介紹：

一、總公式：

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（Xo，Yo），則點(diǎn) P 到直線 L 的距離為：

考慮點(diǎn)(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)

d=√((x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2-s2)

二、引申公式：

公式①：設(shè)直線l1的方程為??；

直線l2的方程為?則 2條平行線之間的間距：

公式②：設(shè)直線l1的方程為??；直線l2的方程為?

則 2條直線的夾角??，

異面直線距離計算公式如下圖：

向量方法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上任意兩點(diǎn)的連結(jié)線段在公共法向量上的射影長。該公式可以這樣理解：設(shè)異面直線AM和BN，其中AB是公垂線，M、N是兩條直線上任意的兩點(diǎn)。

有關(guān)定理：

定理一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。

定理二：兩條異面直線的公垂線段長（異面直線的距離）是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條。