考研微積分題目

樓主，等一等，圖片一會(huì)兒好。

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首先求出x=R時(shí)的速度v',

變換微分方程為x''=GM/x^2,

進(jìn)而左側(cè)用dv替換,變成vdv=GM/x^2*dx

積分v:0->v',x:R+H->R

得v'=根號(hào)下2GM(1/R-1/(R+H))

類似的,x=R+r,0

解出x=R+r時(shí)速度v(r)與x的關(guān)系為x=GM/(GM/R-1/2*v(r)^2)

再利用dv=adt,即dv=GM/x^2*dt,將x用含有v(r)的式子代換,

得到dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt

查積分表,可解該微分方程:

t=vR/2/(GM/R-1/2*v^2)+R/(2根號(hào)2)*根號(hào)(R/G/M)*ln絕對(duì)值((v/根號(hào)2+根號(hào)(GM/R)/v/根號(hào)2-根號(hào)(GM/R)))

將x=R處速度v'=根號(hào)下2GM(1/R-1/(R+H))代入,得到時(shí)間

T=(根號(hào)下2GM(1/R-1/(R+H))

)R/2/(GM/R-1/2*(根號(hào)下2GM(1/R-1/(R+H)))^2)+R/(2根號(hào)2)*根號(hào)(R/G/M)*ln絕對(duì)值(((根號(hào)下2GM(1/R-1/(R+H)))根號(hào)2+根號(hào)(GM/R)/(根號(hào)下2GM(1/R-1/(R+H)))/根號(hào)2-根號(hào)(GM/R)))

結(jié)果很復(fù)雜....?

幫你化簡(jiǎn)了一下,見附圖?

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補(bǔ)充，圖中附上積分公式了，你可以套公式積分。

希望有所幫助

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