泰式小曲

泰勒展開(kāi)式定義為若函數(shù)f(x)?在包含x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a,b）上具有（n+1)階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一x∈（a,b），有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*((x-x0))^2+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x）。

其中，Rn(x）＝f(n+1)(ξ）/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)，此處的ξ?為x0?與x?之間的某個(gè)值。

擴(kuò)展資料：

泰勒展開(kāi)式是數(shù)學(xué)分析中重要的內(nèi)容，也是研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計(jì)算上有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。利用泰勒展開(kāi)式可以將非線性問(wèn)題化為線性問(wèn)題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。

泰勒展開(kāi)式可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計(jì)算、不等式證明等方面。

泰勒展開(kāi)式常用公式是f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n。

泰勒公式，是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)。常用公式為f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2?。?x-a)^2+……＋[f(n)(a)/n?。?a)(x-a)^n。

在高等數(shù)學(xué)的理論研究及應(yīng)用實(shí)踐中，泰勒公式有著十分重要的應(yīng)用，簡(jiǎn)單歸納如下：

(1)應(yīng)用泰勒中值定理（泰勒公式）可以證明中值等式或不等式命題。

(2)應(yīng)用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。

(3)應(yīng)用泰勒公式可以進(jìn)行更加精密的近似計(jì)算。

(4)應(yīng)用泰勒公式可以求解一些極限。

(5)應(yīng)用泰勒公式可以計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值。

泰勒公式展開(kāi)是：

泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開(kāi)式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(x-x0)n的高階無(wú)窮小。

實(shí)際應(yīng)用中：

泰勒公式需要截?cái)啵蝗∮邢揄?xiàng)，一個(gè)函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)叫做泰勒展開(kāi)式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。

泰勒展開(kāi)式的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。