如何證明兩個(gè)不同的有理數(shù)之間有無限多個(gè)有理數(shù)和無限多個(gè)無理數(shù)?

2023-08-14 09:50

2個(gè)回答
這是舉虧《數(shù)學(xué)分析教程-中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)精品教材》練習(xí)題1.1的第2題,仿照樓上的解法,我也來寫一個(gè)回答:
設(shè)這兩個(gè)不同的有理數(shù)為p,q,且p(1)令Q = p + (q - p) / m (m∈N*且m≥2)
易知,Q為有理數(shù),且p由于m∈N*,即m有無限鄭頌多個(gè),則Q有無限多個(gè),
即p、q之間有無限多個(gè)有理數(shù)
(2)令Q = p + π(q-p)/n (n∈N*且n ≥ 4)
易知p由于n∈N*,即n有喊答鄭無限多個(gè),則Q有無限多個(gè),
即p、q之間有無限多個(gè)無理數(shù)

(2)中用到了練習(xí)題1.1的第1題的結(jié)論,這里把第一題的題目貼出來:

設(shè)a為有理數(shù),b為無理數(shù),求證a+b與a-b都是無理數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),ab與b/a也是無理數(shù)
(用反證法即可證明)

用構(gòu)造法,直接構(gòu)造出無限桐穗多個(gè)有理數(shù)或喊兆無理數(shù)

詳細(xì)過程見下圖:


先做假設(shè)——


開始構(gòu)造——


補(bǔ)鄭輪租充證明——

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