證明：隨機變量x,y不相關的充要條件是D(X+Y)=D(X)+D(Y)

1、證明充分：

由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov(x,y），根據D(X+Y)=D(X)+D(Y)，可推出Cov(x,y)=0 ，根據相關系數的定義，可以知道相關系數是0，所以x,y不相關。

2、證明必要：

反之如果XY不相關，則相關系數必然為0，而相關系數=Cov（x，y）/[D(X)D(Y)]^(-2),易知分母不能為0，所以Cov(x,y)=0，進而推出 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 。

擴展資料

方差的性質

1、設C是常數，則D（C）=0

2、設X是隨機變量，C是常數，則有

3、設 X 與 Y 是兩個隨機變量，則

其中協(xié)方差

特別的，當X，Y是兩個不相關的隨機變量則

此性質可以推廣到有限多個兩兩不相關的隨機變量之和的情況。

4、D（X）=0的充分必要條件是X以概率1取常數E（X），即

（當且僅當X取常數值E（X）時的概率為1時，D（X）=0。）

注：不能得出X恒等于常數，當x是連續(xù)的時候X可以在任意有限個點取不等于常數c的值。

5、D（aX+bY）=a2DX+b2DY+2abCov（X，Y）。

證明充分：由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov(x,y），根據D(X+Y)=D(X)+D(Y)

可推出Cov(x,y)=0 ，根據相關系數的定義，可以知道相關系數是0，所以x,y不相關。

2。證明必要： 反之如果XY不相關，則相關系數必然為0， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而相關系數=Cov（x，y）/[D(X)D(Y)]^(-2),易知分母不能為0，所以Cov(x,y)=0，進而推出 D(X+Y)=D(X)+D(Y)?

這是概率論的題吧，多看看書上的基本公式。