數(shù)學(xué)教授們覺得像邁克爾?斯皮瓦克的《微積分》這樣的書容易讀嗎?

數(shù)學(xué)教授們覺得像邁克爾·斯皮瓦克的《微積分》這樣的書容易讀嗎?這本書是如此嚴(yán)格以至于他們不得不在書的開頭證明a+b是可交換的。

斯比維克的微積分很好讀，是的。它是為那些剛剛習(xí)慣嚴(yán)格的基于證明的數(shù)學(xué)的學(xué)生而寫的。我這里有第三版。第一章叫做“數(shù)的基本性質(zhì)”。以下是第一章第一段的摘錄:

這一簡短的章節(jié)只是簡單的解釋了什么是“數(shù)字的基本屬性”，所有這些…我們已經(jīng)很熟悉了…它的目的并不是要對舊的材料作一個(gè)擴(kuò)展的回顧，而是要把這些知識(shí)濃縮成一些簡單而明顯的數(shù)字性質(zhì)。有些甚至似乎太明顯而不提，但是大量不同的和重要的事實(shí)結(jié)果是我們要強(qiáng)調(diào)的事實(shí)的結(jié)果。

釋義:這一章是一個(gè)熟悉和明顯的屬性列表。這一章不是一個(gè)擴(kuò)展的回顧，而是一個(gè)濃縮的清單。這些性質(zhì)將被用來證明其他的東西。

說Spivak“必須證明a+b是可交換的”構(gòu)成了對第一章的根本誤解。屬性(P1)-(P12)是公理。斯比維克沒有證明。他把它們列出來，對它們進(jìn)行評(píng)論，然后用它們來證明某些其他的性質(zhì)，例如，如果和，那么。

加法的交換性質(zhì)是(P4)。他沒有證明;他列出了它。值得一提的是，在其他文本中，整數(shù)和/或有理數(shù)的+、*和<并不被假定為熟悉的，而是從更基本的東西定義的，通常是集合理論，然后像(P1) - (P12)這樣的性質(zhì)可以從這樣的定義中被證明為定理。我不會(huì)再進(jìn)一步討論這個(gè)問題了，我只想說這是可能的，而斯比維克不會(huì)這么做。對于Spivak來說，(P1) - (P12)是前提，而不是結(jié)論。

我還將提到Spivak延遲提出(第13頁)，最小上界公理，直到第2章結(jié)束。這是一個(gè)深思熟慮的舉動(dòng)，在我看來，也是聰明的舉動(dòng)。它強(qiáng)調(diào)(P13)是完成對微積分所必需的實(shí)數(shù)系統(tǒng)的描述所需要的全部。更熟悉的代數(shù)性質(zhì)(P1) - (P12)在有理數(shù)系統(tǒng)中已經(jīng)存在。事實(shí)上，對于滿足(P1) - (P12)的數(shù)字系統(tǒng)有一個(gè)技術(shù)術(shù)語:它被稱為有序域。如果我們把(P13)作為“完整性”的定義，那么Spivak的文章強(qiáng)調(diào)微積分所需的公理是完全有序域的公理。