微分方程的特解怎么求
微分方程的特解求法如下:
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是關(guān)于x的多項式,且λ經(jīng)常為0)
則y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同樣形式的多項式,例如P(x)是x2+2x,則設(shè)Q(x)為ax2+bx+c,abc都是待定系數(shù))
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是單根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x2*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系數(shù))
約束條件
微分方程的約束條件是指其解需符合的條件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的約束條件。
常微分方程常見的約束條件是函數(shù)在特定點的值,若是高階的微分方程,會加上其各階導(dǎo)數(shù)的值,有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。
若是二階的常微分方程,也可能會指定函數(shù)在二個特定點的值,此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數(shù)值,稱為狄利克雷邊界條件(第一類邊值條件),此外也有指定二個特定點上導(dǎo)數(shù)的邊界條件,稱為諾伊曼邊界條件(第二類邊值條件)等。
偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主,不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或?qū)?shù)需符定特定條件。
微分方程的特解步驟如下:
一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,首先判斷出是什么類型的。
然后寫出與所給方程對應(yīng)的齊次方程。
接著寫出它的特征方程。由于這里λ=0不是特征方程的根,所以可以設(shè)出特解。
把特解代入所給方程,比較兩端x同次冪的系數(shù)。
舉例如下:
擴(kuò)展資料:
微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。
微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關(guān)的問題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛,可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題。物理中許多涉及變力的運動學(xué)、動力學(xué)問題,如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運動等問題,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計等領(lǐng)域都有應(yīng)用。
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