黎曼和的黎曼積分的推廣

黎曼積分可推廣到值屬于維空間的函數(shù)。積分是線性定義的，即如果，則。特別地，由于復(fù)數(shù)是實數(shù)向量空間，故值為復(fù)數(shù)的函數(shù)也可定義積分。
黎曼積分只定義在有界區(qū)間上，擴展到無界區(qū)間并不方便?？赡茏詈唵蔚臄U展是通過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。我們可以令
不幸的是，這并不是很合適。平移不變性（如果把一個函數(shù)向左或向右平移，它的黎曼積分應(yīng)該保持不變）喪失了。例如，令若，，若。則對所有 . 但如果我們將向右平移一個單位得到，則對所有，我們得到 . 由于這是不可接受的，我們可以嘗試定義：
此時，如果嘗試對上面的積分，我們得到，因為我們先使用了極限。如果使用相反的極限順序，我們得到。
這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關(guān)。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令在上，其它域上等于0。對所有，。但一致收斂于0，因此的積分是0。因此。即使這是正確的值，可看出對于極限與普通積分可交換的重要準(zhǔn)則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應(yīng)用。
一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而采用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去并不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數(shù)都是勒貝格可積的，并且當(dāng)二者都有定義時積分值也是一致的。
擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所采用的方法。