虛數是什么意思？

什么是

負數
，在實數范圍內無解。

們就把這種運算的結果叫做
，因為這樣的運算在實數范圍內無法解釋，所以叫
。
實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。
于是，實數成為特殊的復數（缺
部分），虛數也成為特殊的復數（缺實數部分）。

為i, i即根號負1。
3i為虛數，即根號(-3), 即3×根號（－1）
2＋3i為復數，（實數部分為2，虛數部分為3i）
虛數的實際意義

大多數人最為熟悉的數有兩種，即正數（＋5，
＋17．5）和負數（－5，－17．5）。負數是在中世
紀出現的，它用來處理3－5這類問題。從古代人看來，要
從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是，

的商人卻已經清楚地認識到欠款的概念。“請你給我五個蘋
果，可是我只有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢?！?
這就等于說：（＋3）－（＋5）＝（－2）。
正數及負數可以根據某些嚴格的規(guī)則彼此相乘。正數乘
正數，其乘積為正。正數乘負數，其乘積為負。最重要的是，
負數乘負數，其乘積為正。
因此，（＋1）×（＋1）＝（＋1）；
（＋1）×（－1）＝（－1）；
（－1）×（－1）＝（＋1）。
現在假定我們自問：什么數自乘將會得出＋1？或者用

來說，＋1的
是多少？
這一問題有兩個答案。一個答案是＋1，因為（＋1）
×（＋1）＝（＋1）；另一個答案則是－1，因為（－1）
×（－1）＝（＋1）。
是用√￣（＋1）＝±1來
表示這一答案的。（碧聲注：（＋1）在根號下）
現在讓我們進一步提出這樣一個問題：－1的
是
多少？
對于這個問題，我們感到有點為難。答案不是＋1，因
為＋1的自乘是＋1；答案也不是－1，因為－1的自乘同
樣是＋1。當然，（＋1）×（－1）＝（－1），但這是
兩個不同的數的相乘，而不是一個數的自乘。
這樣，我們可以創(chuàng)造出一個數，并給它一個專門的符號，
譬如說＃1，而且給它以如下的定義：＃1是自乘時會得出
－1的數，即（＃1）×（＃1）＝（－1）。當這種想法
剛提出來時，
都把這種數稱為“虛數”，這只是因為
這種數在他們所習慣的數系中并不存在。實際上，這種數一
點也不比普通的“實數”更為虛幻。這種所謂“虛數”具有
一些嚴格限定的屬性，而且和一般實數一樣，也很容易處理。
但是，正因為數學家感到這種數多少有點虛幻，所以給
這種數一個專門的符號“i”(imaginary)。我們可以把正
虛數寫為（＋i），把負虛數寫為（－i），而把＋1看作
是一個
，把（－1）看作是一個
。因此我們可
以說√￣（－1）＝±i。
實數系統(tǒng)可以完全和虛數系統(tǒng)對應。正如有＋5，
－17．32，＋3／10等實數一樣，我們也可以有
＋5i，－17．32i，＋3i／10等虛數。
我們甚至還可以在作圖時把虛數系統(tǒng)畫出來。
假如你用一條以0點作為中點的直線來表示一個

系統(tǒng)，那么，位于0點某一側的是
，位于0點另一側
的就是
。
這樣，當你通過0點再作一條與該直線直角相交的直線
時，你便可以沿第二條直線把虛數系統(tǒng)表示出來。第二條直
線上0點的一側的數是正虛數，0點另一側的數是負虛數。
這樣一來，同時使用這兩種數系，就可以在這個平面上把所
有的數都表示出來。例如（＋2）＋（＋3i）或
（＋3）＋（－2i）。這些數就是“復數”。
數學家和
發(fā)現，把一個平面上的所有各點同數
字系統(tǒng)彼此聯系起來是非常有用的。如果沒有所謂虛數，他
們就無法做到這一點了。