三個集合的并集的元素數(shù)目等于？

為了便于說清楚問題,我們考慮a∩b≠φ、c∩b≠φ、a∩c≠φ、a∩b∩c≠φ的情況,利用維恩圖表示如圖2,我們把圖中間四個區(qū)分別記為ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ并用a,b,c,d來分別表示ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ各區(qū)域構(gòu)成的集合中元素的個數(shù),card(a∪b∪c)與card(a)+card(b)+card(c)相比,相對card(a∪b∪c)來說card(a)+card(b)+card(c)
的數(shù)目中多計了a,c,d一次,b兩次,由此建立等量關(guān)系式:圖2
a=card(a∩b)-card(a∩b∩c),
c=card(b∩c)-card(a∩b∩c),
d=card(a∩c)-card(a∩b∩c)
故card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)
-[card(a∩b)-card(a∩b∩c)]
-[card(b∩c)-card(a∩b∩c)]
-[card(a∩c)-card(a∩b∩c)]-2card(a∩b∩c)
整理得,
card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(a∩c)-card(b∩c)+card(a∩b∩c),由此我們可得
結(jié)論2:已知三個有限集合a,b,c,有card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(a∩c)-card(b∩c)+card(a∩b∩c).

三個集合的并集的元素數(shù)目等于三個集合各自元素數(shù)目之和減去其兩兩交集元素數(shù)目再加上三個集合交集的元素數(shù)目，即
A并B并C
=
A
+
B
+
C
-
A交B
-
A交C
-
B交C
+
A交B交C；