拉格朗日中值定理證明

拉格朗日中值定理是微分學(xué)中最重要的定羅爾定理來證明。理之一，它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，也是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。一般高等數(shù)學(xué)教材上，大都是用羅爾定理證明拉朗日中值定理，直接給出一個輔助函數(shù)，把拉格朗日定理的證明歸結(jié)為用羅爾定理，證明的關(guān)鍵是給出—個輔助函數(shù)。怎樣構(gòu)作這一輔助函數(shù)呢?給出兩種構(gòu)造輔助函數(shù)的 去。羅爾定理：函數(shù)滿足在[a，b止連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使f(∈)==o (如圖1)。拉格朗日定理：若f(x)滿足在『a，b』上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)至少存在_ ∈，使 (如圖2).

比較定理?xiàng)l件，羅爾定理中端點(diǎn)函數(shù)值相等，f ，而拉格朗日定理對兩端點(diǎn)函數(shù)值不作限制，即不一定相等。我們要作的輔助函數(shù)，除其他條件外，一定要使端點(diǎn)函數(shù)值相等，才能歸結(jié)為:1.首先分析要證明的等式： 我們令 ……(1)則只要能夠證明在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使f(∈ t就可以了。由 有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2)分析(2)式，可以看出它的兩邊分別是F(X)=f(x)-tx在b,a觀點(diǎn)的值。從而，可設(shè)輔助函數(shù)F(x)=f(x)-tx。該函數(shù)F(x)滿足在{a.b{上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且 F(a)=F(b) 。根據(jù)羅爾定理，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得結(jié)論 2.考慮函數(shù) 我們知道其導(dǎo)數(shù)為 且有 F(a)=F(b)=0.作輔助函數(shù) ，該函數(shù)F(x)滿足在[a，b]是連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f F 。根據(jù)羅爾定理，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使F’ 從而有 結(jié)論成立.