數(shù)學(xué)題求解

解：（Ⅰ）已知a=2，b=1，-1≤x≤3
①當(dāng)-1≤x<2時(shí)，f(x)=x(2-x)-x+1
=-x2+x+1
=-(x2-x-1)
=-(x-?)2+5/4
此時(shí)，f(x)max=f(?)=5/4,f(x)min=f(-1)=-1
②當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=x(x-2)-x+1
=x2-3x+1
=(x-3/2)2-5/4
此時(shí)，f(x)max=f(3)=1,f(x)min=f(2)=-1
綜上，f(x)max=f(?)=5/4,f(x)min=f(-1)=f(2)=-1
(Ⅱ)
①當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)=x(x-a)-x+b
=x2-(a+1)x+b
=[x-(a+1)/2]2+b-[(a+1)2/4] (1≤x≤3)
∵a≤1 => (a+1)/2<≤1
∴f(x)在[1,3]單調(diào)遞增
f(x)min=f(1)=b-a
f(x)max=f(3)=6-3a+b
假設(shè)存在b，使得|f(x)|≤2在[1,3]恒成立
則有-2≤b-a≤2且-2≤6-3a+b≤2
解得：a-2≤b≤a+2且3a-8≤b≤3a-4(a≤1)
∵a≤1 => 3a-4≤a-2
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，上述不等式組有實(shí)數(shù)解為b=-1
∴a=1滿足題意
②當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)=x(a-x)-x+b
=-x2+(a-1)x+b
=-[x-(a-1)/2]2+[(a-1)2/4]+b
∵a≥3 => (a-1)/2≥1
(i)當(dāng)(a-1)/2≥3，即a≥7時(shí)，
∴f(x)在[1,3]單調(diào)遞增
f(x)min=f(1)=a-2+b
f(x)max=f(3)=3a-12+b
假設(shè)存在b，使得|f(x)|≤2在[1,3]恒成立
則有-2≤a-2+b≤2且-2≤3a-12+b≤2
解得：-a≤b≤-a+4且-3a+10≤b≤-3a+14(a≥7)
∵a≥7 => -3a+14≤-a
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=7時(shí)，上述不等式組有實(shí)數(shù)解為b=-7
∴a=7滿足題意
（ii）當(dāng)1≤(a-1)/2<2，即3≤a<5時(shí)，
f(x)在[1,(a-1)/2]單增，在((a-1)/2,3]單減且有f(3)≤f(1)
f(x)max=f((a-1)/2)=[(a-1)2/4]+b
f(x)min= f(3)=3a-12+b
假設(shè)存在b，使得|f(x)|≤2在[1,3]恒成立
則有-2≤[(a-1)2/4]+b≤2且-2≤3a-12+b≤2
解得：-[(a-1)2/4]-2≤b≤-[(a-1)2/4]+2且-3a+10≤b≤-3a+14(3≤a<5)
當(dāng)-3a+10≤-[(a-1)2/4]+2且-[(a-1)2/4]-2≤-3a+14時(shí)，上述不等式組有實(shí)數(shù)解
即3≤a≤11
又∵3≤a<5
∴3≤a<5滿足題意
(iii)當(dāng)2≤(a-1)/2<3，即5≤a<7時(shí)，
f(x)在[1,(a-1)/2]單增，在((a-1)/2,3]單減且有f(1)f(x)max=f((a-1)/2)=[(a-1)2/4]+b
f(x)min= f(1)=a-2+b
假設(shè)存在b，使得|f(x)|≤2在[1,3]恒成立
則有-2≤[(a-1)2/4]+b≤2且-2≤a-2+b≤2
解得：-[(a-1)2/4]-2≤b≤-[(a-1)2/4]+2且-a≤b≤-a+4(5≤a<7)
當(dāng)-a≤-[(a-1)2/4]+2且-[(a-1)2/4]-2≤-a+4時(shí)，上述不等式組有實(shí)數(shù)解
即-1≤a≤7
又∵5≤a<7
∴5≤a<7滿足題意
③當(dāng)1f(x)=x(a-x)-x+b=-x2+(a-1)x+b=-[x-(a-1)/2]2+[(a-1)2/4]+b (x∵1≤a≤3 => 0≤(a-1)/2≤1，1≤(a+1)/2≤2
∵1 a>(a+1)/2
∴當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)在[a,3]單調(diào)遞增，f(x)min=f(a)=b-a，f(x)max=f(3)=6-3a+b
當(dāng)x假設(shè)存在b，使得|f(x)|≤2在[1,3]恒成立
則有-2≤b-a≤2且-2≤6-3a+b≤2且-2≤a-2+b≤2
解得：a-2≤b≤a+2且3a-8≤b≤3a-4且-a≤b≤-a+4(1聯(lián)立前兩個(gè),當(dāng)a+2≥3a-8且3a-4≥a-2時(shí)有解，解得1≤a≤5
聯(lián)立后兩個(gè),當(dāng)3a-4≥-a且-a+4≥3a-8時(shí)有解，解得1≤a≤3
又∵1∴1綜上，a的取值范圍為｛a|1≤a≤7｝