關(guān)于數(shù)列極限定義的疑問

不能，極限就是無限逼近的意思，不可能相等

大家一起來探討吧，我認(rèn)為不能：
不等式 |Xn-a|＜ε 要是寫成 0≤|Xn-a|＜ε 就好理解了吧，取 ε 的目的是為了讓 Xn-a 的值足夠接近于0，即 Xn 足夠接近于 a ，才能說明其以 a 為極限。而 |Xn-a|=ε 卻是不等式中距離0最遠(yuǎn)的，這與足夠接近 a 的本意是違背的。
而且看看極限定義的幾何意義便知：
任意給定鄰域 N（a，ε），則必存在 N ，使得 n>N 的一切 Xn 都落在 N（a,≤ε）之內(nèi)。
而鄰域?qū)懗蓞^(qū)間的形式為（a-ε,a+ε) ,為開區(qū)間，即不包括兩端點(diǎn)。所以|Xn-a|＜ε不能寫成|Xn-a|≤ε。
以上為我的觀點(diǎn)，供參考，不過最好親自問問數(shù)學(xué)老師吧。

對于問題補(bǔ)充的回答補(bǔ)充：
ε是可取任意小，但一旦取定一個值之后，Xn-a 就應(yīng)比它還要小，如何證明兩數(shù)夠接近？任取你能想象到的小數(shù)，但這兩數(shù)之差比你想得數(shù)還要小，才能說明夠接近。這就是數(shù)學(xué)語言。你看看所有有關(guān)極限的證明題，都是＜，沒有≤。其實(shí)這也就是一念之差的事，再想想吧。剛接觸極限定義么？

再補(bǔ)充：
為何不能等呢？
數(shù)列2，2，2，2，2，2，2......的極限是多少呢？你說它沒極限么？

終極補(bǔ)充：
除了這個等號外，對極限定義還有費(fèi)解之處么？沒有的話暫時就不想了，極限定義是高等數(shù)學(xué)里第一個遇到的也是最大的難啃骨頭，隨著時間的推移，理解的加深，自然就會明白。不要著急啦o(∩_∩)o...

“等號情結(jié)”實(shí)在不行就放一放吧，數(shù)學(xué)知識確確實(shí)實(shí)應(yīng)該深挖、挖透。但如若遇到這種情況，為了繼續(xù)學(xué)習(xí)只能放一放了。有精力還不如多看看高數(shù)定理的證明，類似極限的數(shù)學(xué)思想通篇貫穿其中，正好也擴(kuò)展一下思路，老在一個地方糾結(jié)會影響復(fù)習(xí)進(jìn)度以及積極性的。

我請教了一位南開大學(xué)數(shù)學(xué)系的哥兒們，他傾向于小于等于，但同時表示還是應(yīng)該模糊一些好。那就模糊一些吧，考試也不考。

都可以。
n>N和n>=N在這里時沒區(qū)別的,只要N再取大點(diǎn)>=就變成>了……
| Xn-a|<ε中改為<=時，對于任意的正數(shù)ε，我們只要取正數(shù)ε2<ε,則當(dāng){an}收斂時照樣有N2，使得|Xn-a|<=ε2，此時，我們只要取N>N2,則對任意的n>N，
|Xn-a|<=ε2<ε,常數(shù)a是數(shù)列的極限。