奇數(shù)與偶數(shù)奧數(shù)題

每做一次變換杯子杯口向上的個(gè)數(shù)增加或減少一個(gè)偶數(shù),這是因?yàn)槊看巍胺D(zhuǎn)”4個(gè)杯子,如果有n(n≤4)個(gè)杯子從口向下變?yōu)榭谙蛏?則應(yīng)有4-n個(gè)杯子從口向上變?yōu)榭谙蛳?故每次“翻轉(zhuǎn)”杯口向上的個(gè)數(shù)增加n-(4-n)=2n-4,2n-4是個(gè)偶數(shù).
一開始7只杯子口均向上,口向上的個(gè)數(shù)7是奇數(shù),因?yàn)槠鏀?shù)加減一個(gè)偶數(shù)仍為奇數(shù),故“翻轉(zhuǎn)”前后杯子口向上的個(gè)數(shù)始終是奇數(shù),所以通過有限次“翻轉(zhuǎn)”不能使杯口全部朝下,因?yàn)楸谌砍聲r(shí),口向上的個(gè)數(shù)是零,零是個(gè)偶數(shù).

另一種證法.
將杯口向上的狀態(tài)記為+1,杯口向下的狀態(tài)記為-1,杯子“翻轉(zhuǎn)”一次,其狀態(tài)值乘以-1,7個(gè)杯子對應(yīng)的+1或-1乘起來的值標(biāo)記7個(gè)杯子的整體狀態(tài),如有m個(gè)杯子口向上,n個(gè)杯子口向下,則7個(gè)杯子的整體狀態(tài)為(+1)^m*(-1)^n=(-1)^n,7只杯子口向上,整體狀態(tài)為(+1)^7=1,7只杯子口向下,整體狀態(tài)為(-1)^7=-1,一開始7只杯子杯口均向上,整體狀態(tài)為(+1)^7=1,按題的要求,每次將其中4只同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”,即每做一次變換有4個(gè)+1或-1改變符號,也即將原來的狀態(tài)值乘以(-1)^4=1,這樣整體狀態(tài)始終為+1,即7個(gè)杯子的整體狀態(tài)始終不變,不可能變?yōu)?1,故通過有限次“翻轉(zhuǎn)”不能使杯口全部朝下.