什么是擺的等時(shí)性原理

對(duì)于擺長(zhǎng)相同的鐘擺（既繩長(zhǎng)相同） 無(wú)論離最低點(diǎn)距離是多少（不超過(guò)圓的四分之一） 到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)間相同。

擺的等時(shí)性原理是指不論擺動(dòng)幅度（擺角小于5°時(shí)）大些還是小些，完成一次擺動(dòng)的時(shí)間是相同的，現(xiàn)在人們公認(rèn)伽利略發(fā)現(xiàn)了該原理，他在比薩的教堂中觀察吊燈擺動(dòng)現(xiàn)象時(shí)引發(fā)的結(jié)論。按照等時(shí)性原理，如果擺的振幅較小，那么擺動(dòng)的周期同擺動(dòng)的振幅無(wú)關(guān)。盡管在伽利略之前的好幾個(gè)世紀(jì)中，等時(shí)性早已為阿拉伯人所熟知，但以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度去研究這一現(xiàn)象的科學(xué)家還是首推伽利略。他指出擺的周期并不取決于擺線上懸掛物的多少，而只取決于擺線長(zhǎng)度的平方根。如果不考慮阻力的影響，懸掛在等長(zhǎng)線上的一個(gè)軟木球或一個(gè)鉛球的擺動(dòng)規(guī)律是相同的。

擺的周期公式為:T=2π*√（L/g）.可見(jiàn),擺的周期與擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔嘘P(guān)。

將擺線的一拱倒轉(zhuǎn)，即對(duì)其底線作鏡射，則此段擺線的最高點(diǎn) C 變成最低點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從此段擺線任意點(diǎn)出發(fā)，在重力作用下沿?cái)[線向下滑，則此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)C所需的時(shí)間與出發(fā)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。即：從任意兩相異點(diǎn)出發(fā)，它們到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間相同。為π√(a/g)，其中a為此段擺線對(duì)應(yīng)的動(dòng)圓半徑。

應(yīng)用

　　惠更斯在1657年利用單擺的等時(shí)性原理發(fā)明了擺鐘以后，逐漸發(fā)現(xiàn)單擺的等時(shí)性是有限制的——即在擺角小于5°的時(shí)候，擺角的正弦值可近似的看做擺角的值，即Sin θ ≈ θ，從而有周期T=2π√(L/g)。
　　在不斷的研究后，發(fā)現(xiàn)擺線的等時(shí)性不受擺角的影響，從而在1673年利用擺線的等時(shí)性制作出了具有真正等時(shí)性的擺鐘。
　　不論振幅為多少，其周期是個(gè)定值，此定值等于 π√(4a/g)

證明

　　倒轉(zhuǎn)后的擺線的參數(shù)方程為 x=aθ-asinθ， y=-a+a*cosθ ， 質(zhì)點(diǎn)下滑的出發(fā)點(diǎn) P 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 θ′（0<θ′<π）。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)下滑到參數(shù)為 θ 的點(diǎn)時(shí)，根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點(diǎn)喪失的勢(shì)能轉(zhuǎn)變成動(dòng)能，所以質(zhì)點(diǎn)在該處的的瞬時(shí)速度為 v（θ）=√(2ag（cosθ′-coaθ）)。
　　另一方面，弧長(zhǎng) s 的微分為 ds=√((dx)2+(dy)2)=2a*sin(θ/2)dθ
　　于是，質(zhì)點(diǎn)滑落到最低點(diǎn) C所需的時(shí)間為 ∫[θ′,π](2a*sin(θ/2)dθ )/√(2ag（cosθ′-coaθ）)
　　此值等于 π√(a/g)，與θ′無(wú)關(guān)。