為什么負負得正?

為什么“負負得正”？對于這個問題，也許你根本沒有考慮，也許你的解釋是“課本規(guī)定如此”。這個回答不能滿足具有好奇心和求知欲的大家，請大家了解一下“負負得正”的發(fā)展史。
眾所周知，負數(shù)概念最早出現(xiàn)在中國，在《九章算術(shù)》中方程章給出正負數(shù)的加減運算法則，而負負得正直到13世紀末才由數(shù)學家朱士杰給出。在《算學啟蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負”。
公元7世紀，印度數(shù)學家婆羅笈多（brahmayup-ta）已有明確的正負數(shù)概念，及其四則運算法則：“正負相乘得負，兩負數(shù)相乘得正，兩正數(shù)得正?！?br/>直到18世紀還有一些西方數(shù)學家認為“負負得正”這一運算法則是個謬論。甚至到了19世紀，英國還有一些數(shù)學家不接受負數(shù)，如英國數(shù)學家弗倫得（1757—1841）抨擊那些談“負負得正”的代數(shù)學家，認為負數(shù)有悖常理，“只有那些喜歡信口開河，厭惡嚴肅思維的人才支持這種數(shù)得使用。”
事實上直到19世紀中葉以前，負負得正的運算，則在學習代數(shù)課本中并沒有得到正確的解釋，法國文豪司湯達（1783—1843）在學生時代就曾被這個法則困擾了很久，他的兩位數(shù)學教師迪皮伊先生和夏倍爾都未能給他一個令他信服的解釋，司湯達因而對數(shù)學和數(shù)學教師產(chǎn)生了不信任感，他說：“到底是我的兩位老師在騙我呢還是數(shù)學本身就是一場騙局呢？”顯然為了減少學生學習負數(shù)乘法運算的理解困難，利用生硬的“規(guī)定”的方法直接引入負負得正的法則是不可取的。下面是引入方法幫助同學們理解。
每個孩子都是聽著故事長大的。所以，他們應當對故事有著更多的興趣和熱情。而對于學生來說。對比較強烈的概念會給他們留下較為深刻的印象，如好與壞、善與惡等。下面這個模型應該可以給學生以更直觀的感受。
故事模型
好人（正數(shù)）或壞人（負數(shù)）進城（正數(shù)）或出城（負數(shù)）好（正數(shù).）與壞（負數(shù)），如果好人（+）進城（+）對于城鎮(zhèn)來說是好事（+）。所以（+）×（+）=+：如果好人（+）
出城（-），對于城鎮(zhèn)來說是壞事（-），如果壞人(-)進城（+）對城鎮(zhèn)來說是壞事（-）即（-）×（+）=-所以如果壞人(-)出城(-)對于城鎮(zhèn)來說是好事(+)，所以（-）×（-）=+
“負債”模型
M．克萊因認為，“如果記住物理意義，那么負數(shù)運算以及負數(shù)和正數(shù)混合運算是很容易理解的”。他解決了困擾人們多年的“兩次負債相乘的結(jié)果是神奇的收入”的問題。
一人每天欠債5美元，給定日期（0美元）3天后欠債15美元。如果將5美元的債記成-5，那么每天欠債5美元欠債3天可以數(shù)學來表達：3×（-5）=-15。同樣一人每天欠債5美元，那么給定日期（0美元）3天前，他的財產(chǎn)比給定的日期的財產(chǎn)多15美元，如果我們用-3表示3天前，用-5表示每天欠債，那么3天前他的經(jīng)濟情況可表示為（-3）×（-5）=15
運動模型
一個人沿著公路散步，規(guī)則如下：選定向右的方向為正方向，那么向左的方向為負方向。即向右走為正數(shù)，向左走用負數(shù)表示，依照時間的順序，將來的時間用正值，過去的時間為負值，人的初始位置在零點。

+4 × -3 = -12

測量型模型
某氣象站測得海拔每升高1千米，溫度降低0.6度，觀察地的氣溫是零度。問在觀察地點以下3千米的地方氣溫是多少度？我們規(guī)定，氣溫升高為正，氣溫下降為負。觀察地點以下為負，觀察地點以上為正。易得上述問題的算式為(-0.6) ×（-3）=1.8
動手模型
在這個模型中我們需要攝像機作為道具，也希望同學們從自己動手的過程中理解“實踐出真知”的道理
假設一個干凈的塑料水箱有一個透明的排水管，排水管的排水速度為每分鐘3加侖。用攝像機拍下排水管前幾分鐘的排水過程（這里的“排水”看作為負數(shù)，如果我們播放時放2分鐘，可以看出水箱里的水減少6加侖，而3分鐘后，水減少9加侖，假設我們現(xiàn)在將錄像帶到放2分鐘（這里的“倒放”看作負數(shù)），那么水箱的水會增加6加侖的水。
如何解釋“負負得正”
現(xiàn)實模型不足以讓司湯達這樣的聰明孩子完全信服。這時候，我們還可以用如下方法來解釋為何“負負得正”。
第一種是直接用運算律的方法：
（-1）×（-1）=（-1）×（-1）+0×(-1)
=（-1）×（-1）+[(-1)+1] ×1
=（-1）×（-1）+(-1) ×1+1×1
=(-1) ×(-1+1)+1
=1
第二種是反證法：假設負負得正，則由假設: （-1）×（-1）=[2+(-1)]
=(-1) ×2+(-1) （1）
另一方面： （-1）×（+1）=[1+(-2)] ×（+1）=1+(-2) ×1 （2）
若正負得負，則由（1）得-1=-3，不可能：若正負得正，則由（2）得1=3也不可能。也就是說，無論一個正數(shù)與一個負數(shù)的乘積是正數(shù)還是負數(shù)，上面的結(jié)論都是不成立的。因此-1×（-1 ）= —1的假設是錯誤的。必有（-1）×（-1）=1
上面的“證明”嚴格地說不過是兩種解釋而以。因為我們的依據(jù)是正數(shù)和零所滿足的運算律包括：0+a=a，0×a=0;a+b=b+a；a×b=b×a;等。19世紀德國數(shù)學家漢克爾早就告訴我們。在形式化的算術(shù)中?！柏撠摰谜笔遣荒茏C明的，大數(shù)學家克萊恩。也提出忠告：不要試圖地去證明符號法則的邏輯必要性，“別把不可能的證明講得似乎成立”。實際上面的“證明”表明：當我們把非負整數(shù)所滿足的運算律用于負數(shù)時，兩個負數(shù)相乘的結(jié)果只能是正數(shù)。數(shù)集擴充所遵循的原則之一就是運算律的無矛盾性，誠然，你可以規(guī)定“負負得正”，但是這樣做時，你至少必須放棄正整數(shù)集所滿足的其中一個運算律。這大概是我們能向湯姆達亮出的最后一張底牌了。然而，數(shù)學教育研究結(jié)果表明:孩子知識的建構(gòu)并不是通過演繹推理，而是通過經(jīng)驗收集、比較結(jié)果、一般化等手段來完成的，僅僅向?qū)W生講述運算率并不能收到你所期望的效果，因為學生并不情愿利用這些運算率。這與歷史的啟示是一致的，無疑，現(xiàn)實模型是我們不可缺的教學方法。