直線與曲線關(guān)系

提供兩種方法：

方法1:設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為A(x1,y1)B(x2,y2),所以

y1=ax12-1……<1>

y2=ax22-1……<2>

聯(lián)立<1><2>得:(y1-y2)/(x1-x2)=a(x1+x2)……<3>

又因?yàn)锳(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于x+y=0對(duì)稱,所以AB的斜率為x+y=0的斜率的負(fù)倒數(shù)

即(y1-y2)/(x1-x2)=1……<4>

且AB中點(diǎn)在x+y=0上,即(x1+x2)/2+(y1+y2)/2=0……<5>

由<4>得:y1-y2+x2-x1=0……<6>

由<5>得:x1+x2+y1+y2=0……<7>

<6>+<7>得:2y1+2x2=0,即y1=-x2……<8>

將<4>代入<3>得:a(x1+x2)=1,所以-x2=x1-1/a……<9>

由<8><9>得:y1=x1-1/a……<10>

聯(lián)立<1><10>得:x1-1/a=ax12-1,即a2x12-ax1-a+1=0,

此方程必有實(shí)數(shù)根,所以判別式△≥0,即a2+4a2(a-1)≥0

所以a≥3/4



方法2:若存在A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=-x 對(duì)稱,則可以設(shè)A、B兩點(diǎn)所在直線為y=x+m

代入拋物線y=ax2-1得：ax2-x-(m+1)=0

由題意,此方程有解,則有：1+4a(m+1)≥0 ……(1)

且易得 A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)為(1/2a,1/2a+m),此點(diǎn)代入直線 y=-x 適合,則可以得到：m=-1/a；

把m=-1/a,代(1)式,即有：1+4a(-1/a+1)≥0,所以:a≥3/4.