什么是分岔？為什么分岔現(xiàn)象只能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中？不能出現(xiàn)在現(xiàn)行系統(tǒng)中？最好舉例說明

分岔
分岔
bifurcation

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的參量值跨越臨界值（分叉值）所導(dǎo)致穩(wěn)定定常狀態(tài)定性變化的現(xiàn)象 。又稱分叉。這術(shù)語是19世紀(jì)末H.龐加萊研究天體起源時(shí)引進(jìn)的。一團(tuán)旋轉(zhuǎn)流體角速度ω有一分叉值ω*，在ω＞ω*情況中，液體有一穩(wěn)定平碼老衡態(tài)(形狀)，而在ω＜ω* 情況中，這個(gè)平衡態(tài)失去穩(wěn)定性 ，液體最終趨于另一穩(wěn)定平衡態(tài)，這一分岔現(xiàn)象可用以解釋天體某種形狀的起源。力學(xué)中研究過的最早的分岔例子是18世紀(jì)L.歐拉考慮的細(xì)壓桿屈曲。如取軸向力大小 P 為參量，歐拉臨界力P * 是一分岔值。在P＜P * 情況，細(xì)桿只有一個(gè)穩(wěn)定平衡態(tài) (不彎曲)，而在 P＞ P *情況下，它失去穩(wěn)定性 ，細(xì)桿有兩個(gè)新的穩(wěn)定平衡態(tài)，它最終將趨于其中的一個(gè)（向一側(cè)彎曲）。
動(dòng)力學(xué)簡模咐系統(tǒng)的穩(wěn)定定常狀態(tài)除平衡態(tài)外，還有周期態(tài)即振動(dòng)，以及略為復(fù)雜些的準(zhǔn)周期態(tài)。參量跨越分岔值（無論由大到小或由小到大）有時(shí)引起系統(tǒng)（ 穩(wěn)定 ）平衡態(tài)換成（穩(wěn)定）周期態(tài)（或相反由周期態(tài)到平衡態(tài)），這種分岔20世紀(jì) 30 年代 A.A.安德羅諾夫在分析自激振動(dòng)中詳細(xì)研究過，但在文獻(xiàn)中通常稱為E.霍甫分岔（40年代）。
60年代以后的研究表明，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定定常態(tài)除平衡、周期、準(zhǔn)周期各態(tài)外，更可能是另一種——混沌態(tài)，即確定性系統(tǒng)由于初態(tài)敏感性而產(chǎn)生的隨機(jī)狀態(tài)。因而在一般意義的分岔現(xiàn)象中，系統(tǒng)參量跨越分岔值導(dǎo)致系統(tǒng)中定態(tài)的轉(zhuǎn)化可能是多種多樣的：一種平衡到另一種平衡，振動(dòng)到混沌，準(zhǔn)周期到混沌，混沌到準(zhǔn)周期，甚至混沌到另一種混沌，等等。與混沌出現(xiàn)有關(guān)的分岔稱為同宿分岔。流體動(dòng)力學(xué)攔純中的湍流是比混沌更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。流體流動(dòng)中由層流向湍流的轉(zhuǎn)捩可以用分岔理論得到部分解釋。

因?yàn)榫€性函數(shù)比較簡單，其平衡態(tài)方程的解通常都是存在唯一的，不會(huì)出現(xiàn)多個(gè)平衡態(tài)