怎么證明有界不一定可積

設(shè)f（x）在區(qū)間（a，b）上有界，且只有有限個間斷點，則f（x）在（a，b）上可積。所以有界不一定可積。

例如狄利克雷函數(shù)f（x）=1（x是有理數(shù)的時候），而f（x）=0（x是無理數(shù)的時候），所以f（x）是有界的。但f（x）在任意區(qū)間內(nèi)有無數(shù)個間斷點，所以這個函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)不可積。

如果一個函數(shù)的積分存在，并且有限，就說這個函數(shù)是可積的。一般來說，被積函數(shù)不一定只有一個變量，積分域也可以是不同維度的空間，甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。如同上面介紹的，對于只有一個變量x的實值函數(shù)f，f在閉區(qū)間[a,b]上的積分記作

擴展資料：

定積分與不定積分之間的關(guān)系：

若定積分存在，則它是一個具體的數(shù)值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函數(shù)表達式，只是在數(shù)學上有一個計算關(guān)系（牛頓-萊布尼茨公式），其它沒有都沒有。

一個函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。