三角形中位線的判定定理

在三角形內(nèi)，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。

在三角形內(nèi)，經(jīng)過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線。

特點：若在一個三角形中，一條線段是平行于一條邊，且等于平行邊的一半（這條線段的端點必須是交于另外兩條邊上的中點），這條線段就是這個三角形的中位線。

擴(kuò)展資料：

例：AD是△ABC的外接圓⊙o的直徑(D點不與BC點重合)，過D作⊙o 的切線交BC于P，連線OP交AB、AC 于 M、N，求證OM=ON。

分析：從題目所給的條件與所要證明的結(jié)論來看，沒有明顯的聯(lián)系，為此需要添加輔助線，勾通條件與結(jié)論的聯(lián)系。

鑒于M、N分別在AB、AC邊上的一般位置。若過B點作BE//MN分別交AC、AD于E、F， 則證明OM= ON就可 轉(zhuǎn)化為證明BF=EF，也即是要證明F為BE的中點，這時B點在⊙o 上，和題設(shè)條件有了明顯的聯(lián)系。在△BCE中BC 是⊙o 的弦。取BC的中點G，如果能證明FG是△BCE的中位線，問題就解決了、因此只須要證明 FG//CE 就行了。而要證明這一 點是非常容易的事情。

證明 ： 因OD⊥PD、 OG⊥BC、

故O、P、D、G 四點共圓

從而∠FDG=∠OPG

又因BE//OP，故∠OPC=∠FBG

所以∠FDG =∠FBG

因此B、D、G、F四點共圓

所以∠FGB =∠FDB( 或∠FGB一兀一∠FDB )

又因為∠FDB =∠ACB( 或∠ACB 一∠兀一FDB )

所 以∠FGB =∠ACB， 從而FG//CE

而G為BC的中點， 由中位線定理， 可知

F是BE的中點， 即BF=EF

由于FB分之OM=AF分之AO=FE分之ON

所以O(shè)M=ON?