三角形中位線的判定定理
2.在三角形內(nèi),經(jīng)過三角形一邊的中點,且與另一邊平行的線段,是三角形的中位線
在三角形內(nèi),與三角形的兩邊相交,平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。
在三角形內(nèi),經(jīng)過三角形一邊的中點,且與另一邊平行的線段,是三角形的中位線。
特點:若在一個三角形中,一條線段是平行于一條邊,且等于平行邊的一半(這條線段的端點必須是交于另外兩條邊上的中點),這條線段就是這個三角形的中位線。
擴(kuò)展資料:
例:AD是△ABC的外接圓⊙o的直徑(D點不與BC點重合),過D作⊙o 的切線交BC于P,連線OP交AB、AC 于 M、N,求證OM=ON。
分析:從題目所給的條件與所要證明的結(jié)論來看,沒有明顯的聯(lián)系,為此需要添加輔助線,勾通條件與結(jié)論的聯(lián)系。
鑒于M、N分別在AB、AC邊上的一般位置。若過B點作BE//MN分別交AC、AD于E、F, 則證明OM= ON就可 轉(zhuǎn)化為證明BF=EF,也即是要證明F為BE的中點,這時B點在⊙o 上,和題設(shè)條件有了明顯的聯(lián)系。在△BCE中BC 是⊙o 的弦。取BC的中點G,如果能證明FG是△BCE的中位線,問題就解決了、因此只須要證明 FG//CE 就行了。而要證明這一 點是非常容易的事情。
證明 : 因OD⊥PD、 OG⊥BC、
故O、P、D、G 四點共圓
從而∠FDG=∠OPG
又因BE//OP,故∠OPC=∠FBG
所以∠FDG =∠FBG
因此B、D、G、F四點共圓
所以∠FGB =∠FDB( 或∠FGB一兀一∠FDB )
又因為∠FDB =∠ACB( 或∠ACB 一∠兀一FDB )
所 以∠FGB =∠ACB, 從而FG//CE
而G為BC的中點, 由中位線定理, 可知
F是BE的中點, 即BF=EF
由于FB分之OM=AF分之AO=FE分之ON
所以O(shè)M=ON?
2.三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。
3.三角形的中位線的判定定理:經(jīng)過三角形一邊的中點,平行于第二邊的直線必平分第三邊。
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